圆周角定理 _生活经验

什么是圆周角定理？圆周角定理：同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。
半圆（直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

圆周角定理是什么?可以得到什么推论定理：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆或直径所对的圆周角是直角,九十度的圆周角所对的弦是直径.在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等

圆周角定理意思圆周角定理详解圆周角的定义顶点在圆周上，并且两边为圆的两条弦的角叫做圆周角（angle in a circular segment）（Inscribed Angle）。圆周角的顶点在圆上，它的两边为圆的两条弦。圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。圆周角定理证明求证：同一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半．已知：⊙O中， ∠AOB和∠ACB分别是所对的圆心角和圆周角．求证：∠AOB=2∠ACB证明：当圆心O在∠ACB的一条边上时，如图(1)，证明方法同课本，这里不在赘述．当圆心O在∠ACB的外部时，如图(2)．联结OC．∵OC=OB，OC＝OA∴∠OCA=∠OAC ， ∠OCB=∠OBC∵∠OCA+∠OAC+∠AOC=180°，∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°∴∠AOC=180°-∠OCA-∠OAC，∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC∴∠AOC=180°-2∠OCA，∠BOC=180°-2∠OCB∴∠AOC-∠BOC =180°-2∠OCA-180°+2∠OCB∴∠AOC-∠BOC =2(∠OCB -∠OCA)∵∠AOC-∠BOC=∠AOB，∠OCB -∠OCA=∠ACB∴∠AOB=2∠ACB；当圆心O在∠ACB的内部时，如图(3)．联结OC．∵OC=OB，OC＝OA∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC∵∠OCA+∠OAC+∠AOC=180°，∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°∴∠AOC=180°-∠OCA-∠OAC，∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC∴∠AOC=180°-2∠OCA，∠BOC=180°-2∠OCB∵∠AOC+∠BOC+∠AOB =360°∴∠AOB=360°-∠AOC-∠BOC∴∠AOB=360°-180°+2∠OCA-180°+2∠OCB∴∠AOB=2(∠OCA+∠OCB)∵∠OCA+∠OCB =∠ACB∴∠AOB=2∠ACB ；综上所述，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半圆周角定理推论①圆周角度数定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。②同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等。（不在同圆或等圆中其实也相等的。注：仅限这一条。[2]）③半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。④圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。⑤在同圆或等圆中，圆周角相等弧相等弦相等。

圆周角定理同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半

祝开心！希望能帮到你~~

圆周角定理的定理内容圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。
圆周角定理是什么圆周角定理证明是中考必考几何题型，是初中数学重要知识点之一，为便于同学们理解加深印象，给出动态演示图。
圆周角定理证明圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。定理证明已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.证明：情况1：如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：图1∵OA、OC是半径解：∴OA=OC∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）∵∠BOC是△AOC的外角∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC情况2：如图2, ，当圆心O在∠BAC的内部时：连接AO，并延长AO交⊙O于D图2∵OA、OB、OC是半径解：∴OA=OB=OC∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC情况3：如图3 ，当圆心O在∠BAC的外部时：图3连接AO，并延长AO交⊙O于D连接OA,OB 。解：∵OA、OB、OC、是半径∴OA=OB=OC∴∠BAD=∠ABO（等腰三角形底角相等）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC圆心角等于180度的情况呢？看情况1的图，圆心角∠AOB=180度，圆周角是∠ACB，显然因为∠OCA=∠OAC=∠BOC/2∠OCB=∠OBC=∠AOC/2所以∠OCA+∠OCB=（∠BOC+∠ABC）/2=90度所以2∠ACB=∠AOC圆心角大于180度的情况呢？看情况3的图，圆心角是（360度-∠AOB），圆周角是∠ACB ，只要延长CO交园于点E，由圆心角等于180度的情况可知∠CAE=∠CBE=90度所以∠ACB+∠AEB=180度，即∠ACB=180度-∠AEB由情况2可知：∠AOB=2∠AEB所以360度-∠AOB=2（180度-∠AEB）=2∠ACB
圆的弦切角定理与圆周角定理有什么不同弦切角的定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦角。
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
如图
AB是○O的切线， AC是弦，∠BAC就是弦切角，∠BAC=∠D
圆周角定义
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

圆心角定理圆周角定理圆心角定理：在同圆等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对弦的弦心距也相等．
圆周角定理：①圆周角度数定理,圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半
②同圆或等圆中,圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半
③同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等圆周角所对的弧也相等
④半圆（或直径）所对圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径
⑤圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角.

圆周角定理如图所示
怎样证明圆周角定理圆周角度数定理的另一种证明方法
圆周角度数定理是圆一章的一个重要的定理，它是解决和圆有关的角的问题的重要依据，这个定理的证明北京版数学教材中给出了一种证明方法，这种证明方法主要用的是外角方面的知识，老师们在教学中多是仿照书上的方法进行证明，而很少去探讨和思考别的证明方法，下面给出用三角形内角和证明这个定理的方法，供大家参考．
求证：同一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半．
已知：⊙o中， ∠aob和∠acb分别是
所对的圆心角和圆周角．
求证：∠aob=2∠acb
证明：当圆心o在∠acb的一条边上时，如图(1) ，证明方法同课本，这里不在赘述．
当圆心o在∠acb的外部时，如图(2)．联结oc．
∵oc=ob，oc＝oa
∴∠oca=∠oac，∠ocb=∠obc
∵∠oca+∠oac+∠aoc=180°，∠ocb+∠obc+∠boc=180°
∴∠aoc=180°-∠oca-∠oac，∠boc=180°-∠ocb-∠obc
∴∠aoc=180°-2∠oca，∠boc=180°-2∠ocb
∴∠aoc-∠boc
=180°-2∠oca-180°+2∠ocb
∴∠aoc-∠boc
=2(∠ocb
-∠oca)
∵∠aoc-∠boc=∠aob，∠ocb
-∠oca=∠acb
∴∠aob=2∠acb；
当圆心o在∠acb的内部时，如图(3)．联结oc．
∵oc=ob ， oc＝oa
∴∠oca=∠oac，∠ocb=∠obc
∵∠oca+∠oac+∠aoc=180° ， ∠ocb+∠obc+∠boc=180°
∴∠aoc=180°-∠oca-∠oac，∠boc=180°-∠ocb-∠obc
∴∠aoc=180°-2∠oca，∠boc=180°-2∠ocb
∵∠aoc+∠boc+∠aob
=360°
∴∠aob=360°-∠aoc-∠boc
∴∠aob=360°-180°+2∠oca-180°+2∠ocb
∴∠aob=2(∠oca+∠ocb)
∵∠oca+∠ocb
=∠acb
∴∠aob=2∠acb
；
综上所述，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

这个怎么证明圆周角定理延长BO交圆O于A'点，连结CA'，易知角BOC是三角形OA'C的外角，又由于三角形OA'C是等腰三角形，容易得到角BOC等于2倍的角OA'C，这里角OA'C和角BAC同弧，故角OA'C等于角BAC，圆周角定理得证！

怎样证明圆周角定理有无简便方法?圆周角等于同弧所对圆心角的一半
等弧所对的弦长相等
半径都相等
所以可以用“边边边”证明三角形全等
从而证明等弧所对的圆心角相等
所以可以证明等弧所对的圆周角相等

圆周角定理的证明详细过程😳详解，不会

圆周角定理在证明过程中用到了哪些思想方法延长BO交圆O于A'点，连结CA'，易知角BOC是三角形OA'C的外角，又由于三角形OA'C是等腰三角形，容易得到角BOC等于2倍的角OA'C，这里角OA'C和角BAC同弧，故角OA'C等于角BAC ，圆周角定理得证！

写出圆心角，圆周角与弦及其之间关系的定理.圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是论证同圆或等圆中弧相等、角相等及线段相等的主要依据，同时圆心角和它所对的弧的对应相等关系，并由此得圆心角的度数和它所对弧的度数相等．
二、
圆周角
l、圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角．
它有两个特征：（1）角的顶点在圆上，（2）角的两边都与圆相交．两者缺一不可．如图中的角均不是圆周角．
2．定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
3．推论①：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
推论②：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
推论③：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
圆周角定理及其推论是进一步推导圆其他重要性质的理论根据，而且对于角的计算，推证角相等、弧相等、弦相等，判定相似三角形、直角三角形等平面几何中常见问题提供了十分简便的方法，所以它是本单元的重点；圆周角定理的证明要用到分类讨论，所以也是难点．

求证：若一条弧所对的角是这条弧所对圆心角的一半,则这个角是圆周角。（即圆周角定理的逆定理）求证：同一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半．

已知：⊙O中， ∠AOB和∠ACB分别是所对的圆心角和圆周角．

求证：∠AOB=2∠ACB

证明：当圆心O在∠ACB的一条边上时，如图(1)，证明方法同课本，这里不在赘述．

当圆心O在∠ACB的外部时，如图(2)．联结OC．

∵OC=OB，OC＝OA

∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC

∵∠OCA+∠OAC+∠AOC=180° ， ∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°

∴∠AOC=180°-∠OCA-∠OAC，∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC

∴∠AOC=180°-2∠OCA，∠BOC=180°-2∠OCB

∴∠AOC-∠BOC =180°-2∠OCA-180°+2∠OCB

∴∠AOC-∠BOC =2(∠OCB -∠OCA)

∵∠AOC-∠BOC=∠AOB，∠OCB -∠OCA=∠ACB

∴∠AOB=2∠ACB；

当圆心O在∠ACB的内部时，如图(3)．联结OC．

∵OC=OB ， OC＝OA

∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC

∵∠OCA+∠OAC+∠AOC=180°，∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°

∴∠AOC=180°-∠OCA-∠OAC ， ∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC

∴∠AOC=180°-2∠OCA，∠BOC=180°-2∠OCB

∵∠AOC+∠BOC+∠AOB =360°

∴∠AOB=360°-∠AOC-∠BOC

∴∠AOB=360°-180°+2∠OCA-180°+2∠OCB

∴∠AOB=2(∠OCA+∠OCB)

∵∠OCA+∠OCB =∠ACB

∴∠AOB=2∠ACB ；

综上所述，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

圆周角定理的内容一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。这一定理叫做圆周角定理

推论有：
1.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
2.圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半；
3.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。
4.半圆（直径）所对的圆周角是直角。
5.90°的圆周角所对的弦是直径。
注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有两个，一个是优弧所对的角，一个是劣弧所对的角。

等对等定理是什么?垂径定理是什么?圆周角定理是什么?圆心角的度数和它所对的弧的度数相等垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

圆周角定理的定理证明

文章插图

圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半证明：已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.证明：情况1：如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：∵OA、OC是半径解：∴OA=OC∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）∵∠BOC是△AOC的外角∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC图1情况2：如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：连接AO，并延长AO交⊙O于D∵OA、OB、OC是半径解：∴OA=OB=OC∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC图2情况3：如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：连接AO，并延长AO交⊙O于D连接OA,OB 。解：∵OA、OB、OC、是半径∴OA=OB=OC∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC从而得证：∠BOC=2∠BAC.图3扩展资料：定理推论1.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;2.圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半;3.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的弧也相等。4.半圆(直径)所对的圆周角是直角。5.90°的圆周角所对的弦是直径。6.等弧对相等的圆周角。(因为相等的弧只有一个圆心角)注意:在圆中，同一条弦所对的圆周角有无数个。
圆周角定理有哪些?定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。

推论
半圆（直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

圆周角定理D如果在圆上，且是BC中点，那么是一定相等的。SAS全等

中考数学图形的性质：圆周角定理及其推论？1、圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。2、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。3、圆内接四边形在同圆内，四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形（1）.圆内接四边形的对角互补（2）.圆内接四边形的外角等于它的内对角。

圆周角定理推论就是老师回答时候该怎么答很急啊定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径
推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

圆周角定理及推论渗透了什么数学思想方法化归思想
请问有哪几个圆周角A、B、E3个点，各有一个圆周角，D点和C点各有三个圆周角，所以加在一起一共应该有九个圆周角。

圆周角定理推论解：（1）AB,AC之间的大小关系为：AB=AC ，
证明如下：
∵AB是圆O的直径
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角为90°）
又∵D是BC的中点
∴AD垂直平分BC
∴AB=AC（线段的垂直平分线上的点到线段两短点的距离相等）

（2）连BE，
∵AB是圆O的直径
∴∠AEB=90°，即 BE⊥AC 。
若满足点E一定是AC的中点，
则BE垂直平分AC
∴BA=BC
又∵AB=AC已证，
∴△ABC还需满足除AB=AC以外，
还需满足BC=BA 或 ∠B = 60°，
点E才一定是AC的中点

圆周角定理的三个推论圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.
其他推论
①圆周角度数定理，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半
②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半
③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等
④半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径
⑤圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

数学圆的定理、推论初中：
1不在同一直线上的三点确定一个圆。
2垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
3圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
4圆是定点的距离等于定长的点的集合
5圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
6圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
7同圆或等圆的半径相等
8到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半
径的圆
9定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦
相等，所对的弦的弦心距相等
10推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两
弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
11定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它
的内对角
12①直线L和⊙O相交 d＜r
②直线L和⊙O相切 d=r
③直线L和⊙O相离 d＞r
13切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
14切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径
15推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
16推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
17切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
18圆的外切四边形的两组对边的和相等
19弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
20推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
30相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积
相等
31推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的
两条线段的比例中项
32切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割
线与圆交点的两条线段长的比例中项
33推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
34如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上
35①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r
③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)
④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)
36定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
37定理把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
38定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
39正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n
40定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
41正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长
42正三角形面积√3a／4 a表示边长
43如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为
360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4
44弧长计算公式：L=n兀R／180
45扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2
46内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)
47定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
48推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
49推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所
对的弦是直径
50正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径
51余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角
52圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标
53圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0
54弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 1不在同一直线上的三点确定一个圆。
2垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
3圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
4圆是定点的距离等于定长的点的集合
5圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
6圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
7同圆或等圆的半径相等
8到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半
径的圆
9定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦
相等，所对的弦的弦心距相等
10推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两
弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
11定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它
的内对角
12①直线L和⊙O相交 d＜r
②直线L和⊙O相切 d=r
③直线L和⊙O相离 d＞r
13切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
14切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径
15推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
16推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
17切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
18圆的外切四边形的两组对边的和相等
19弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
20推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
30相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积
相等
31推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的
两条线段的比例中项
32切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割
线与圆交点的两条线段长的比例中项
33推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
34如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上
35①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r
③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)
④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)
36定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
37定理把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
38定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
39正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n
40定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
41正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长
42正三角形面积√3a／4 a表示边长
43如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为
360° ，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4
44弧长计算公式：L=n兀R／180
45扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2
46内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)
47定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
48推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
49推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所
对的弦是直径
50正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径
51余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角
52圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标
53圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0
54弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r

高中：
一、有关圆周角和圆心角的性质和定理：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。

二、有关外接圆和内切圆的性质和定理
①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；
②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。
③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长）
④两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的直线）
⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB ， CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

三、如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。
四、圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
五、圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
六、弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
七、圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。
八、圆外角的度数等于这个等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。
九、有关切线的性质和定理
圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的一端，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。
切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。
切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。

附：〖有关圆的计算公式〗
1.圆的周长C=2πr=πd
2.圆的面积S=πr^2;
3.扇形弧长l=nπr/180
4.扇形面积S=(nπr^2)/360=lr/2(l为扇形的弧长
5.圆锥侧面积S=πrl 6.圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角n=360r/l(r是底面半径,l是母线长)

初中圆的定理1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两

弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

3、垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

推论1： ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

推论2 ：圆的两条平行弦所夹的弧相等

4、切线之判定定理：经过半径的外端并且垂直于该半径的直线是圆的切线。

5、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。

6、公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线长相等，两条内公切线长也相等。如果他们相交，那么交点一定在两圆的连心线上。

7、相交弦定理：圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段长的乘积相等。

8、切割线定理：从圆外一点向圆引一条切线和一条割线，则切线长是这点到割线与圆的两个交点的两条线段长的比例中项。

9、割线长定理：从圆外一点向圆引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

10、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径

推论1 ：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

11、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

12、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

13、定理：把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

14、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

15、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

16、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

17、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

18、(d是圆心距， R、r是半径)

①两圆外离 d>R+r

②两圆外切 d=R+r

③两圆相交 R-r<dr)

④两圆内切 d=R-r(R>r)

⑤两圆内含dr)

圆周角定理怎么证明【圆周角定理】圆周角度数定理的另一种证明方法

圆周角度数定理是圆一章的一个重要的定理，它是解决和圆有关的角的问题的重要依据，这个定理的证明北京版数学教材中给出了一种证明方法，这种证明方法主要用的是外角方面的知识，老师们在教学中多是仿照书上的方法进行证明，而很少去探讨和思考别的证明方法，下面给出用三角形内角和证明这个定理的方法，供大家参考．

求证：同一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半．

已知：⊙O中，∠AOB和∠ACB分别是所对的圆心角和圆周角．

求证：∠AOB=2∠ACB

证明：当圆心O在∠ACB的一条边上时，如图(1) ，证明方法同课本，这里不在赘述．

当圆心O在∠ACB的外部时，如图(2)．联结OC．

∵OC=OB，OC＝OA

∴∠OCA=∠OAC ， ∠OCB=∠OBC

∵∠OCA+∠OAC+∠AOC=180°，∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°

∴∠AOC=180°-∠OCA-∠OAC ， ∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC

∴∠AOC=180°-2∠OCA ， ∠BOC=180°-2∠OCB

∴∠AOC-∠BOC =180°-2∠OCA-180°+2∠OCB

∴∠AOC-∠BOC =2(∠OCB -∠OCA)

∵∠AOC-∠BOC=∠AOB，∠OCB -∠OCA=∠ACB

∴∠AOB=2∠ACB；

当圆心O在∠ACB的内部时，如图(3)．联结OC．

∵OC=OB，OC＝OA

∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC

∵∠OCA+∠OAC+∠AOC=180° ， ∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°

∴∠AOC=180°-∠OCA-∠OAC，∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC

∴∠AOC=180°-2∠OCA ， ∠BOC=180°-2∠OCB

∵∠AOC+∠BOC+∠AOB =360°

∴∠AOB=360°-∠AOC-∠BOC

∴∠AOB=360°-180°+2∠OCA-180°+2∠OCB

∴∠AOB=2(∠OCA+∠OCB)

∵∠OCA+∠OCB =∠ACB

∴∠AOB=2∠ACB ；

综上所述，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半