试论飞矢不动 _生活百科

（应邀回答）
（小石头不懂物理，所以仅站在数学的角度回答这个问题?。?
建立数学模型

文章插图
如上图，飞矢看做一个质点 A，设定 A 在时刻 0 从X 轴原点 0 离弦出发，沿着 X 轴正方向直线运动，最终在时刻 1 射中位于 X 轴单位点 1 处的靶心，我们忽略重力只考虑空气阻力，因此 A 在空间I = [0, 1] 和时间 T = [0, 1]内进行了非匀速直线运动。
设，函数 x: T → I 为 A 的运动轨迹方程，于是，对于任意给定时刻 t ∈ T，可得到 A 所处的位置点 x(t) ∈ I 。
又令，函数： μ(a, b) = |a - b| 用于测量任意两个空间（或时间）点 a, b 之间的距离（或时间间隔）。
任意选取 T 中两个时刻 t,t? ( t ≤ t?)，则定义 A 在时间区间 [t, t?] (或空间区间 [x(t), x(t?)] 内的平均速度为：
V =μ(x(t), x(t?)) / μ(t, t?)
当 t? 无限趋近于 t 时，平均速度 V 的极限：
v = lim_{t?→ t } V
就是 A 在 t 时刻（或 x(t) 处) 的瞬时速度，记为 v = x'(t) = dx/dt 。
飞矢不动悖论虽然，我们从以上数学模型中，得到了 A 在 t 时刻上的瞬时速度 v 肯能不为 0，但是由于 t 时刻上时间间隔为：
μ(t, t) = | t - t | = 0
因此，
A 在 t 时刻上运动的距离s = v μ(t, t) = 0，即，A 没有移动。这也符合空间点 x(t) 的大小为 0 的数学定义，即，μ(x(t), x(t)) = 0 。
于是，问题就来的：
既然，A 在 T 中每个时刻 t 的都没有移动，那么 A 是如何在整个 μ(T) = μ(0, 1) = 1时刻内，产生 μ(I) = μ(0, 1) = 1 的移动呢？
换句话说就是：
既然 A 在 T 中每个时刻 t 的移动的 0 ，那么这些 0 合起来应该也是 0，但是为什么是 1 呢？
这就是 “飞矢不动”悖论。
飞矢不动的秘密我们之所以认为飞矢不动有悖论，是因为我们的如下直觉：
0 + 0 + ... = 0①
这称为可列可加性。具体来说就是：
可列个 0 加起来仍然为 0
但是，我们需要注意的是，这种直觉的适用范围：相加的 0 的个数必须可列。
所谓可列就是：可以排成一条队列，允许这条队列是无穷无尽的，就像 ① 等式左边那样。
如果，可以将 I中的每个点排成一列：
x?, x?, x? ...
则有（规定 μ([x, y]) = μ(x, y)，为了方便令[x] = [x, x]）：
1 = μ(I) = μ([x?] + [x?] + [x?] + ...) = μ([x?]) +μ([x?]) +μ([x?]) + ... = 0 + 0 + 0 + ... = 0
矛盾，悖论成立。
但是实际上是，I 中的点不能排成一列，因为，A 在飞行过程中形成的路线 I 是连续的，连续是比可列更紧密的一种状态。
连续就意味着我们不能在其中找到漏洞，从而无法再插入一个新的点，而队列则可以在任意两个点之间插队。

文章插图
排成一列就意味着可以从头一个一个的数出来，因此，我们也称可列为可数，同时，我们称连续为不可数，于是我们说：
只有可数个 0 相加才是 0，不可数个 0 相加不一定是 0；
我们的最终结论：
由于 A 的行动路径 I 中包含的点不可数，所以，虽然 A 在每个点的移动距离为 0，但是这些 0 加起来可以不为 0（事实上等于 1）。飞矢不动是合理的，悖论不成立。
【试论飞矢不动】这就是飞矢不动的秘密。