如何证明勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理教学视频 _勾股定理

如何证明勾股定理的逆定理
先假设一个直角三角形，然后使其两直角边与三角形ABC的两条较短边相等，之后既可得这两个三角形全等（SAS），既三角形ABC为直角三角形。
勾股定律又称勾股弦定理、勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边长（古称勾长、股长）的平方和等于斜边长（古称弦长）的平方。
勾股定理的逆定理教学视频勾股定理的逆定理是，如果一个三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理的逆定理是判断三角形为钝角、锐角或直角的一个简单的方法，其中AB=c为最长边。
如果a2 + b2 = c2 ，则△ABC是直角三角形。
如果a2 + b2 > c2 ，则△ABC是锐角三角形（若无先前条件AB=c为最长边，则该式的成立仅满足∠C是锐角）。
如果a2 + b2

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勾股定理的具体解释如下：
1、勾股定理（Pythagorean theorem）又称商高定理、毕达哥拉斯定理、毕氏定理、百牛定理，是平面几何中一个基本而重要的定理。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一。
2、勾股定理说明，平面上的直角三角形的两条直角边的长度（古称勾长、股长）的平方和等于斜边长（古称弦长）的平方。
3、反之，若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方，则它是直角三角形（直角所对的边是第三边）。
如何证明勾股定理的逆定理成立正弦定理证明方法
方法1:用三角形外接圆
证明：任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.
作直径BD交⊙O于D. 连接DA.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C. 所以c/sinC=c/sinD=BD=2R
类似可证其余两个等式。
∴a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
方法2: 用直角三角形
证明：在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c 。作CH⊥AB垂足为点H
CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到a/sinA=b/sinB
同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC ∴a/sinA=b/sinB=c/sinC
在直角三角形中,在钝角三角形中(略) 。
方法3：用向量
证明：记向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c ∴a+b+c=0 则i(a+b+c) =i·a+i·b+i·c
=a·cos(180-(C-90))+0+c·cos(90-A)=-asinC+csinA=0 ∴a/sinA =c/sinC (b与i垂直,i·b=0)
方法4：用三角形面积公式
证明：在△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c 。作CD⊥AB垂足为点D，作BE⊥AC垂足为点E，则CD=a·sinB，BE= c sinA,由三角形面积公式得：AB·CD=AC·BE
即c·a·sinB= b·c sinA ∴a/sinA=b/sinB 同理可得b/sinB=c/sinC
∴a/sinA=b/sinB=c/sinC
勾股定理逆定理怎么证明的勾股定理：a2+b2=c2
如果知道a或b的平方，就可以用a或b加一个小数字来尝试
知道c的长度，就把它拆成两个和比自己大的数字来验证
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为A，B，斜边为C，那么 A^2+B^2=C^2;；即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。如果三角形的三条边A，B，C满足A^2+B^2=C^2;，还有变形公式：

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，如：一条直角边是a，另一条直角边是b，如果a的平方与b的平方和等于斜边c的平方那么这个三角形是直角三角形。（称勾股定理的逆定理）

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直角三角形由毕达哥拉斯在公元前550年提出。
有一个角为直角的三角形称为直角三角形。在直角三角形中，与直角相邻的两条边称为直角边，直角所对的边称为斜边。直角三角形直角所对的边也叫作“ 弦” 。若两条直角边不一样长，短的那条边叫作“ 勾”，长的那条边叫作“ 股” 。

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中文名直角三角形别称Rt△提出时间2016.3.10适用领域范围三角形内角和度数180度外文名right triangle表达式Rt△ABC应用学科数学分类方法按角或边分类
目
录
1图形示列
2判定定理
3特殊性质
4判定方法
5基本简介
6相关线段
7勾股定理
8应用举例
9斜边公式
10三角函数
11解三角形
解法含义
解法归纳
1图形示列
直角三角形如图所示：分为两种情况，有普通的直角三直角三角形角形，还有等腰直角三角形（特殊情况)
2判定定理
等腰直角三角形是一种特殊的三角形
等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：具有稳定性、内角和为180° 。两直角边相等，两锐角为45°，斜边上中线、角平分线、垂线三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为此三角形外接圆的半径R 。
3特殊性质
它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如图，∠BAC=90° ，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)
性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。该性质称为直角三角形斜边中线定理。
性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
性质5:如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：直角三角形
（1）（AD)2=BD·DC 。
（2）（AB)2=BD·BC 。
（3）（AC)2=CD·BC 。
射影定理，又称“ 欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。是数学图形计算的重要定理。
性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30° 。
证明方法多种，下面采取较简单的几何证法。
先证明定理的前半部分，Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠A=30°，那么BC=AB/2
∵∠A=30°
∴∠B=60°（直角三角形两锐角互余）
取AB中点D，连接CD，根据直角三角形斜边中线定理可知CD=BD
∴△BCD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
∴BC=BD=AB/2
再证明定理的后半部分，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=AB/2，那么∠A=30°
取AB中点D，连接CD,那么CD=BD=AB/2（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
又∵BC=AB/2
∴BC=CD=BD
∴∠B=60°
∴∠A=30°
性质7:如图，在Rt△ABC中∠BAC=90°，AD是斜边上的高，则：
证明：S△ABC=1/2*AB*AC=1/2*AD*BC
两边乘以2，再平方得AB2*AC2=AD2*BC2
运用勾股定理，再两边除以
,最终化简即得
性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
4判定方法
判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2：若
，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形（勾股定理的逆定理）。
判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于 90°）的三角形是直角三角形。
判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么这个三角形为直角三角形。
判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。参考直角三角形斜边中线定理
判定7：一个三角形 30°角所对的边等于某一邻边的一半，则这个三角形为直角三角形。
判定3和7的证明：
已知△ABC中，∠A=30°，∠A ， ∠C对的边分别为a，c，且a=
c 。求证∠C=90°
证法1：
正弦定理，在△ABC中，有a:sinA=c:sinC
将a与c的关系及∠A的度数代入之后化简得sinC=1
又∵0<∠C<180°
∴∠C=90°
证法2
反证法，假设∠ACB≠90°，过B作BD⊥AC于D
在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°,∠A=30°
∴BD=
AB（30°的直角边等于斜边的一半）
又∵BC
AB
∴BC=BD
但BD是B到直线AC的垂线段，根据垂线段最短可知BD
（或从BC=BD得∠BCD=∠BDC=90° ，那么△BCD中就有两个直角，这是不可能的事情）
∴假设不成立，∠ACB=90°
证法3
利用三角形的外接圆证明
作△ABC的外接圆，设圆心为O，连接OC,OB
∵∠BAC=30°，A在圆上
∴∠BOC=60°
∵OB=OC=半径r
∴△BOC是等边三角形,BC=OC=r
又∵AB=2BC=2r
∴AB是直径
∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角)
应用举例
直角三角形如图1 ，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点
立柱为BC ， DE垂直于横梁AC ， AB=7.4m，∠A=30° ，求BC、DE要多长？
解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°
证明勾股定理的逆定理运用了什么方法勾股定理的逆定理是判断三角形为钝角、锐角或直角的一个简单的方法，其中AB=c为最长边。
证明方法
勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或直角的一个简单的方法
其中c为最长边: 如果a×a+b×b=c×c，则△ABC是直角三角形。如果a×a+b×b＞c×c，则△ABC是锐角三角形。如果a×a+b×b＜c×c，则△ABC是钝角三角形。
勾股定理逆定理的证明: 1、反证法令角C不是直角，则a^2+b^2=c^2不成立，所以矛盾，所以角C是直角。
2、勾股定理逆定理如果三角形的三边长a、b、c满足条件a^2+b^2=c^2，那么C边所对的角是直角。3、三角函数Cos90 如图:已知AB^2+BC^2=AC^2，而任一三角形的边之间均满足， AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BA*COSB，比较两式得， COSB=0，
B=90度。
已知△ABC的三边AB=c，BC=a，CA=b ，且满足a^2+b^2=c^2，证明∠C=90° 。
证法1：同一法。
证法的思路是做一个直角三角形，然后证明它和已知三角形全等，从而已知三角形也是直角三角形。
构造一个直角三角形A'B'C' ，使∠C'=90°，a'=a，b'=b 。
那么，根据勾股定理，c'^2=a'^2+b'^2=a^2+b^2=c^2，从而c'=c 。
在△ABC和△A'B'C'中，
a=a'b=b'c=c'∴△ABC≌△A'B'C' 。
因而，∠C=∠C'=90° 。（证毕）
证法2：余弦定理。
由于余弦定理是由勾股定理推出的，故可以用来证明其逆定理而不算循环论证。
根据余弦定理，在△ABC中，cosC=(a^2+b^2-c^2）/2ab 。
由于a^2+b^2=c^2，故cosC=0；又因为C小于平角，从而C=90° 。（证毕）
证法3：相似三角形。
证法的思路是将已知三角形分割成两块，然后证明它们互补的两角相等，从而这两角都是直角。
在AB边上截取点D使∠DCB=∠A 。
在△CDB与△ACB中， ∠B=∠B ， ∠DCB=∠A ， ∴△CDB∽△ACB（两角对应相等）∴BC/BA=BD/BC，从而BD=a^2/c 。又由CD/AC=CB/AB知， CD=ab/c 。
另一方面，AD=AB-BD=c-a^2/c=b^2/c（因为c^2=a^2+b^2），
在△ACD与△CBD中，
DC/AD=(ab/c) / (b^2/c)=a/b,
BC/AC=a/b,
BD/CD=(a^2/c) / (ab/c)=a/b,
∴△ACD∽△CBD（三边对应成比例）。
∴∠BDC=∠CDA 。
而∠BDC+∠CDA=180° ，故∠BDC=∠CDA=90° 。
由于∠ACB=∠CDB，所以∠ACB90° 。（证毕）
要进行实际应用，那样就事半功倍
证法4
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.
∵ D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
∴ ∠EGF = ∠BED，
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BEG =180°―90°= 90°
又∵ AB = BE = EG = GA = c，
∴ ABEG是一个边长为c的正方形.
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
∴ ∠ABC = ∠EBD.
∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°
即 ∠CBD= 90°
又∵ ∠BDE = 90° ， ∠BCP = 90° ，
BC = BD = a.
∴ BDPC是一个边长为a的正方形.
同理，HPFG是一个边长为b的正方形.
证法5
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.
分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，
∵EF=DF-DE=b-a ， EI=b ，
∴FI=a ，
∴G,I,J在同一直线上，
∵CJ=CF=a，CB=CD=c，
∠CJB = ∠CFD = 90°，
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD，
同理，RtΔABG ≌ RtΔADE ，
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE
∴∠ABG = ∠BCJ,
∵∠BCJ +∠CBJ= 90°，
∴∠ABG +∠CBJ= 90°，
∵∠ABC= 90°，
∴G,B,I,J在同一直线上，
证法6
做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结
BF、CD. 过C作CL⊥DE，
交AB于点M，交DE于点L.
∵ AF = AC ， AB = AD，
∠FAB = ∠GAD，
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，
∵ ΔFAB的面积等于，
ΔGAD的面积等于矩形ADLM
的面积的一半，
∴ 矩形ADLM的面积 =.
同理可证，矩形MLEB的面积 =.
∵ 正方形ADEB的面积
= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
∴ 即a的平方+b的平方=c的平方
证法7
已知在△ABC中，a2+b2=c2，求证∠C=90°
证明：作AH⊥BC于H
⑴若∠C为锐角，设BH=y,AH=x
得x2+y2=c2，
又∵a2+b2=c2，
∴a2+b2=x2+y2（A）
但a>y,b>x ， ∴a2+b2>x2+y2（B)
（A）与（B）矛盾，∴∠C不为锐角
⑵若∠C为钝角，设HC=y,AH=x
得a2+b2=c2=x2+（a+y）2=x2+y2+2ay+a2
∵x2+y2=b2 ，
得a2+b2=a2+b2+2ay
2ay=0
∵a≠0，∴y=0
这与∠C是钝角相矛盾，∴∠C不为钝角
综上所述，∠C必为直角在△ABC中，a2+b2=c2，求证∠C=90°
证明：作AH⊥BC于H
⑴若∠C为锐角，设BH=y,AH=x
得x2+y2=c2 ，
又∵a2+b2=c2，
∴a2+b2=x2+y2（A）
但a>y,b>x，∴a2+b2>x2+y2（B)
（A）与（B）矛盾， ∴∠C不为锐角
⑵若∠C为钝角，设HC=y,AH=x
得a2+b2=c2=x2+（a+y）2=x2+y2+2ay+a2
∵x2+y2=b2，
得a2+b2=a2+b2+2ay
2ay=0
∵a≠0 ， ∴y=0
这与∠C是钝角相矛盾， ∴∠C不为钝角
综上所述，∠C必为直角
其他证明
这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的 Pythagorean Proposition（《毕达哥拉斯命题》）一书中总共提到367种证明方式。有人会尝试以三角恒等式（例如：正弦和余弦函数的泰勒级数）来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明（参见循环论证）。
证法1
作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。过点C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF ≌ RtΔEBD， ∴ ∠EGF = ∠BED，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90° ， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c ， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形。∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD，∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即 ∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°， BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形。同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 A2+B2=C2
证法2
作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ ，垂足为M；再过点 F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC，∴ ∠MPC = 90°，∵ BM⊥PQ，∴ ∠BMP = 90°，∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90° 。∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，∴ ∠QBM = ∠ABC，又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即A2+B2=C2
证法3
作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，∵EF=DF-DE=b-a，EI=b ， ∴FI=a，∴G,I,J在同一直线上， ∵CJ=CF=a，CB=CD=c， ∠CJB = ∠CFD = 90°， ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD，同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE ∴∠ABG = ∠BCJ，∵∠BCJ +∠CBJ= 90°，∴∠ABG +∠CBJ= 90°，∵∠ABC= 90°，∴G,B,I,J在同一直线上， A2+B2=C2 。
证法4
作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、CD. 过C作CL⊥DE，交AB于点M ，交DE于点L. ∵ AF = AC，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD，∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， ∵ ΔFAB的面积等于，ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半， ∴ 矩形ADLM的面积 =. 同理可证，矩形MLEB的面积 =. ∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 ∴ 即A2+B2=C2
证法5
《几何原本》中的证明在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理）三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。其证明如下：设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB 。其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH 。画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L 。分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA 。∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B、A和H 。∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC 。因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC 。因为 A 与 K 和 L是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD 。因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC 。因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB²；。同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC2；。把这两个结果相加， AB2;+ AC2;; = BD×BK + KL×KC 。由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB2;+ AC2;= BC2；。此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的。
折叠达芬奇的证法
三张纸片其实是同一张纸，把它撕开重新拼凑之后，中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的，但是面积的表达式却不再相同，让这两个形式不同的表达式相等，就能得出一个新的关系式——勾股定理，所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点。观察纸片一，因为要证的是勾股定理，那么容易知道EB⊥CF，又因为纸片的两边是对称的，所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。然后需要知道的是角A'和角D'都是直角，原因嘛，可以看纸片一，连结AD，因为对称的缘故，所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°，那么很明显，图三中角A'和角D'都是直角。证明：第一张中多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF2+OE2+OF·OE 第三张中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'2+C'D'·D'E' 因为S1=S2 所以OF2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D'·D'E' 又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF 所以OF2+OE2=E'F'2 因为E'F'=EF 所以OF2+OE2=EF2 勾股定理得证。
证法9
从这张图可以得到一个矩形和三个三角形，推导公式如下：
b (a + b)= 1/2c2; + ab + 1/2(b + a)(b - a) 矩形面积 =（中间三角形）+（下方）2个直角三角形+（上方）1个直角三角形。（简化） 2ab + 2b2;= c2; + b2;- a2;+ 2ab 2b2; - b2;+ a2;= c2; a2; + b2;= c2; 注：根据加菲尔德图进一步得到的图形。
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