24阶循环子群怎么写( 二 ) _子群

若将l和k换位，（l k）f =-f
每次对换都改变f的符号，则对应的分解的奇偶性是唯一的。置换分成两大类：奇置换与偶置换。
若一个置换能分解为奇数个换位之积，则为奇置换，若可以分解为偶数个换位之积，则为偶置换。
S= (1)(25)(37)(46) 3个换位，奇置换
S= (1) (2) (3) (4) (5) 0个换位，偶置换
例右图中0表示空格，有些布局通过左图偶数次换位得到，有些是奇数次换位得到，但奇数次换位得到的不能通过偶数次换位来得到。如果限制任一变动都是与0做相邻的对换，是否能够由左图生成右图？
显然0从右下角出发回到右下角，水平方向上，垂直方向上都做了偶数次对换。一个奇置换不会等于一个偶置换。
[1,n]上的所有置换（共n！个）构成一个群，称为n阶对称群（Symmetricgroup），记做Sn.
定理： Sn中所有偶置换构成一阶为（n!）/2的子群称为交错群，记做An.
(1)封闭性：偶置换相乘还是偶置换
(2)结合律：置换群的结合律
(3)单位元：置换群的单位元素本身就是偶置换
(4)逆元 =
设 p =（)（)…（），则p-1 = （)…（）
故An为群
令Bn=Sn-An,|Bn|+|An|=n!,
则（ij） BnAn，所以 |Bn|≤|An|,
(ij) An Bn，所以|An|≤|Bn|∴|An|=|Bn|=(n!)/2
5.“除平凡子群外无其他子群的群是素数阶循环群”怎样证明沙发
证明：设群G无非平凡子群，a是G中的非单位元，则H=(a)是G的子群且H≠{e}，所以G=H=(a)，所以G是循环群。
如果G是无限群，因为G≌Z，但Z有无穷多个非平凡子群nZ，矛盾，G必是有限群。
不妨设G为n阶群，则G≌ Zn，考虑Zn中任一循环子群（a）,a∈Zn且非单位元，因为Zn无非平凡子群，所以Zn=(a)，故a和n互素，即（a,n）=1这对一切1<a<n成立，显然n是素数。证毕。
【24阶循环子群怎么写】显然，群G无非平凡子群是G是素数阶循环群成立的充分必要条件。
6.子群的直积是子群么您好，我对群论不太熟，仅供参考.
"内直积" 对于一般的子群甚至无法定义，所以我将您的问题理解为：
令 G 是一个群， H, K 是子群，那么 H 与 K 的外直积能否嵌入 G ?
这个一般显然是不行的，例如令 G = H = K = 整数加群 Z ，此时外直积 H * K = Z * Z 不是循环的，而 Z 的非平凡子群都是无限循环群.
（觉得自己的回答有点别扭，如果理解错了请见谅哈。。..）
7.如何证明无限循环群的所有子群也为无限循环群设G为循环群，那么G有生成元x，使得任何非单位元g属于G，均存在最小的正整数n，满足g=x^n 。
因此若H是G的子群，其任何元素非单位元h，均有h=x^n的形式.
不妨设d>0是满足x^d属于H的最小整数.我们下面证明x^d是H的生成元.
任取x^a属于H(a>0).
则x^(am+tn)=(x^a)^m*(x^t)^n属于H 。
由Euclid辗转相除法知，存在m,n使得：
am+dn=(a,d)>0，这表明x^((a,d)）属于H,
因为a=a1*(a,d),d=d1*(a,d)，所以x^a,x^d可由x^((a,d)）生成.
因此（a,d）

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