三角形外心的有关结论，三角形外心有哪些性质和定理? _三角形

三角形外心的有关结论
三角形外心的有关结论：
（1）锐角三角形的外心在三角形内；
（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；
（3）钝角三角形的外心在三角形外；
（4）等边三角形外心与内心为同一点。
三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上。
三角形外心有哪些性质和定理?三角形的五心
一定理
重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的
离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
垂心定理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。
内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。
旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。它们都是三角形的重要相关点。
三角形外心的性质总结向量三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；锐角三角形的外心在三角形内，钝角三角形的外心在三角形外，直角三角形的外心与斜边的中点重合；外心是三角形三边垂直平分线的交点。
内心
（1）定义：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点（或内切圆的圆心）。
（2）三角形的内心的性质
①三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。
②三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r 。
外心
（1）定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点（或三角形外接圆的圆心）。
（2）三角形的外心的性质
①三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心。
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。
重心
（1）三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。
（2）三角形的重心的性质
①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1 。
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
③重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
数学三角形重心,垂心, 内心,外心三角形的内心就是三内角角平分线的交点；三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心；三角形的外心就是三边中垂线的交点。
外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、外心到三顶点的距离相等

文章插图
内心定理
1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。
2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和与斜边的差的二分之一。
3、P为ΔABC所在空间中任意一点，点0是ΔABC内心的充要条件是：向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).
4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N ，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC
三角形外心的性质定理证明外心定理：三角形的三条边的垂直平分线所相交于一点，该点叫做三角形的外心，也是其三角形外界圆的圆心。

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根据不同的三角形类型可以推断其所在位置。
（1）锐角三角形的外心在三角形内。
（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合。
（3）钝角三角形的外心在三角形外。
（4）等边三角形内心、外心、重心三心合一，都是该三角形的中心位置

文章插图
另外三角形外心到其三角形的顶点的距离相等，因此在其向量有这样的性质：
向量PA的模=向量PB的模=向量PC的模（ABC为三角形三个顶点，P为外心）
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