阿基米德|魏晋大数学家，中国数学史上的牛顿，与阿基米德求解了同一难题( 二 ) |数学|刘徽|九章算术|圆周率

刘徽发现，圆内接正多边形的面积与实际圆面积，如果只用有限次数分割、拼补，那么两者之间总会存在一个误差，正多边形的面积不可能100%的与圆面积一致。因此，刘徽大胆地将极限思想和无穷小分割引入了数学证明，他从圆内接正六边形开始割圆， “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣。 ”也就是说，将圆内正多边形不断加倍，不断加倍，越多误差越小，使之无限逼近圆周，当边数不能再加时，圆内正多边形面积的极限就是圆面积了。

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在用圆内接正多边形逼近圆面积的过程中，圆半径在正多边形与圆之间会有一段余径，想要正多边形与圆周合体时，必然是“表无余径” 。沿着这条思路，通过大量的计算，刘徽把圆内接正多边形的周长一直推算到了正3072边形，求得了圆周率3927/1250（等于3.1416），这是当时世界上最精确的圆周率。
刘徽的割圆术不仅仅只是探索求圆周率的精确方法，以及计算圆周率这么简单，更是人类历史上首次将极限和无穷小分割引入数学证明，具有非同一般的意义。
南北朝时期，祖冲之在刘徽的基础上，进一步研究了圆周率问题，将之精确到3.1415926和3.1415927之间，达到了当时数学知识能研究出的极限值，领先了世界800多年。

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无独有偶，与中国古人一样，古希腊数学家阿基米德也采用这种办法求圆周率，竟然与刘徽的高度相似。
公元前5世纪，古希腊学者提出了“化圆为方”的概念。公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德指出，只要正多边形的边数足够多，那么圆外切正多边形的面积与内接正多边形的面积之差可以任意小。阿基米德先用内接正六边形求出圆周率的下界为3 ，再用外接正六边形并借助勾股定理求出圆周率的上界小于4 ，然后他不断加倍内外正多边形，直到内接正96边形和外接正96边形为止，最终求出圆周率的下界和上界分别为223/71 和22/7 ，并取它们的平均值3.141851 为圆周率的近似值。
与古希腊相比，中国也在很早时期就提出了“化圆为方”的概念，东西方两个文明竟然不约而同地选择了同一种解题思路。与阿基米德的办法相比，刘徽提出的是不断倍增内接的正六边形，一直推到了正3072边形，总体上阿基米德与刘徽创立的“割圆术”高度相似。

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除了几何领域的割圆术之外，刘徽还有很多让人炫目的成就，甚至可以说奠定了唐宋元明清数学的基础。
《九章算术》解开了很多世界先进的数学问题，比如分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，但解法比较原始，也缺乏必要的证明，于是刘徽对此做了补充证明。在此过程中，刘徽最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题，同时也留下了很多开创性的成就。
在数学概念上，刘徽最早提出十进小数的概念，并用十进小数来表示无理数的立方根，还有如幂（面积），方程（线性方程组），正负数等等。在代数方面，刘徽正确地提出了加减运算的法则，改进了线性方程组的解法。在线性方程组解法中，创造了比直除法更简便的互乘相消法，与现今解法基本一致，并第一次提出了“不定方程问题” 。另外，刘徽还建立了等差级数前n项和公式等。