阿基米德|魏晋大数学家,中国数学史上的牛顿,与阿基米德求解了同一难题( 二 )
刘徽发现 , 圆内接正多边形的面积与实际圆面积 , 如果只用有限次数分割、拼补 , 那么两者之间总会存在一个误差 , 正多边形的面积不可能100%的与圆面积一致 。 因此 , 刘徽大胆地将极限思想和无穷小分割引入了数学证明 , 他从圆内接正六边形开始割圆 , “割之弥细 , 所失弥少 , 割之又割 , 以至不可割 , 则与圆周合体 , 而无所失矣 。 ”也就是说 , 将圆内正多边形不断加倍 , 不断加倍 , 越多误差越小 , 使之无限逼近圆周 , 当边数不能再加时 , 圆内正多边形面积的极限就是圆面积了 。
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在用圆内接正多边形逼近圆面积的过程中 , 圆半径在正多边形与圆之间会有一段余径 , 想要正多边形与圆周合体时 , 必然是“表无余径” 。 沿着这条思路 , 通过大量的计算 , 刘徽把圆内接正多边形的周长一直推算到了正3072边形 , 求得了圆周率3927/1250(等于3.1416) , 这是当时世界上最精确的圆周率 。
刘徽的割圆术不仅仅只是探索求圆周率的精确方法 , 以及计算圆周率这么简单 , 更是人类历史上首次将极限和无穷小分割引入数学证明 , 具有非同一般的意义 。
南北朝时期 , 祖冲之在刘徽的基础上 , 进一步研究了圆周率问题 , 将之精确到3.1415926和3.1415927之间 , 达到了当时数学知识能研究出的极限值 , 领先了世界800多年 。
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无独有偶 , 与中国古人一样 , 古希腊数学家阿基米德也采用这种办法求圆周率 , 竟然与刘徽的高度相似 。
公元前5世纪 , 古希腊学者提出了“化圆为方”的概念 。 公元前3世纪 , 古希腊数学家阿基米德指出 , 只要正多边形的边数足够多 , 那么圆外切正多边形的面积与内接正多边形的面积之差可以任意小 。 阿基米德先用内接正六边形求出圆周率的下界为3 , 再用外接正六边形并借助勾股定理求出圆周率的上界小于4 , 然后他不断加倍内外正多边形 , 直到内接正96边形和外接正96边形为止 , 最终求出圆周率的下界和上界分别为223/71 和22/7 ,并取它们的平均值3.141851 为圆周率的近似值 。
与古希腊相比 , 中国也在很早时期就提出了“化圆为方”的概念 , 东西方两个文明竟然不约而同地选择了同一种解题思路 。 与阿基米德的办法相比 , 刘徽提出的是不断倍增内接的正六边形 , 一直推到了正3072边形 , 总体上阿基米德与刘徽创立的“割圆术”高度相似 。
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除了几何领域的割圆术之外 , 刘徽还有很多让人炫目的成就 , 甚至可以说奠定了唐宋元明清数学的基础 。
《九章算术》解开了很多世界先进的数学问题 , 比如分数四则运算 , 正负数运算 , 几何图形的体积面积计算等 , 但解法比较原始 , 也缺乏必要的证明 , 于是刘徽对此做了补充证明 。 在此过程中 , 刘徽最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题 , 同时也留下了很多开创性的成就 。
在数学概念上 , 刘徽最早提出十进小数的概念 , 并用十进小数来表示无理数的立方根 , 还有如幂(面积) , 方程(线性方程组) , 正负数等等 。 在代数方面 , 刘徽正确地提出了加减运算的法则 , 改进了线性方程组的解法 。 在线性方程组解法中 , 创造了比直除法更简便的互乘相消法 , 与现今解法基本一致 , 并第一次提出了“不定方程问题” 。 另外 , 刘徽还建立了等差级数前n项和公式等 。
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