数学家们！十大基础数学证明，“简单”的蜂窝猜想证明，花了2000多年的时间

数学爱好者说，一个问题或定理的文本越短，它的解或证明越长，这个问题或定理就越漂亮。数学哲学家和历史学家说，定理（作为猜想）被证明的时间越长，它对数学的发展以及对数学本质和基础的探究就越重要。

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数学史证明他们在这方面是正确的。为了解决这些猜想，数学家们已经挣扎了几十年，甚至几百年，几千年。他们被敦促把现有的不同性质、结构和语言的数学理论联系起来，甚至创造出比这些猜想更复杂的新理论。随着新的联系、结构、概念框架和内容的增加，它们促进了数学本身和科学的适用性的增加。
这篇文章，我列出了10个基于基础数学的猜想——即在基础代数、数论、欧几里得几何和基本几何拓扑中。这些猜想都是经过至少几十年才被证明。
Abel-Ruffini定理（25年）

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也被称为阿贝尔不可能定理，它表明五次或更高次的一般多项式方程不存在一般代数解（即根式解）。该猜想起源于1799年高斯的研究，同年保罗·鲁菲尼首次尝试解决该猜想。然而，鲁菲尼的解对于当时的伟大数学家（包括柯西）来说并不是令人信服的，因为使用的激进式的定义是不完整的。
N. H.阿贝尔被认为是该猜想的证明者（1824年）。他的证明是基于伽罗瓦理论的一些结果；然而，这个理论在证明的时候还没有具体化。几年后，在J.刘维尔的合著下，伽罗瓦的理论发表了，并被公认为在方程理论方面带来了重大发现。
1963年，V. Arnold提供了Abel-Ruffini定理的拓扑证明，奠定了拓扑伽罗瓦理论的基础。
希尔伯特的第17个问题（27年）

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希尔伯特在1900年提出了著名的“23个数学问题”，其中第十七个问题是：
给定一个只在实数上取非负值的多变量多项式，这个多项式能被表示为有理函数的平方和吗？
这个问题起源于1885年H. Minkowski（闵可夫斯基）的博士论文答辩，他认为存在着实多项式，它们在整个R^n上是非负的，不能写成实多项式的有限平方和。
希尔伯特在1893年解决了n = 2的特殊情况，E. Artin在1927年用有序域的Artin- schreier理论肯定地解决了一般问题，并应用于代数群理论和模型理论。
费马小定理（43年）

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这个猜想最早是由P·德·费马在1640年写给他朋友的信中提出的，它说，如果p是素数，那么对于任何整数a，整数a^p - a是p的倍数。
在组合、多项式、动力系统、模运算或群论项中，这个定理得到了一些证明。欧拉在1736年首次发表了一个证明（用模运算）。然而，在1683年之前，莱布尼茨在一份未发表的手稿中留下了同样的证明。该定理是数论的一个基本结论，是一个重要的质数检验。这个定理的一个直接推广是数论中的欧拉定理。这一定理最相关的理论应用是在群论中；至于实际应用，其中一个是密码学。
庞加莱猜想（98年）

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在拓扑学中，庞加莱猜想是一个描述3维球（在四维空间包围单位球的超球）的命题，它说每一个单连通的、封闭的3维流形与3维球是同胚的。
换句话说，对于一个局部看起来像三维空间，但是连接的空间，有限的大小，没有任何边界的空间，如果这样的空间具有空间中的每一个环都可以连续地收紧到一个点的特性，那么它必然是一个三维球体。