第一朵花，继续研究 线性映射 和 矩阵，发展出了 《矩阵分析》；第二朵花，继续研究 线性函数，发现了： 对偶空间、张量、外代数，这些内容称为 多重线性代数，并被用于 《黎曼几何》；第三朵花，继续研究 内积空间 就有了： Banach 空间 和 Hilbert 空间，从而发展出 《泛函分析》；第四朵花， 借助 向量空间 来研究 几何空间：仿射空间 和 射影空间，这之后发展出 《代数几何》 。
☆ 对于 一元多次方程 的研究 产生了 抽象代数：一元多次方程 ， 也称为 一元多项式方程，形式如下：

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早在 阿拉伯数学昌盛的 时代，古代数学家 就 推导出了 一元二次 方程 ax2 + bx + c = 0 的 求解公式：

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文艺复兴后 ， 欧洲数学家 先后 发现了 一元三次方程 和 一元四次方程 的 求解公式，可是 直到 18世纪 数学家还是 没有找到 一元五次方程的 求解公式 。
Abel 是第一个证明： 一元五次方程 是没有 根式解的，之后 Galois 进一步 证明了 一元方程 在什么情况下有 根式解：
域 F 上 一元n次方程 f(x) 有根式解 当且仅当 Galois 群 G?(f) 是一个可解群 。
为此，Galois 先后建立的 《群论》《环论》《Galois 理论》 ，  这组成了《抽象代数》，从此 数学 真正进入了 抽象时代 。
《高等代数》，含有 群、环、域， 的 初步 知识，以及 一元多项式环 和 多元多项式环 ， 这些都是 为 之后的 《抽象》 学习做准备 。在《抽代》中，线性空间 是 模 的 特例，即，域上的模，所以前面线性代数部分 ， 同样是 《抽代》 的基础 。

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