解方程是《初等代数》的主要内容 ， 代数方程根据 未知数的个数 和 次数 分为两个方向：
- 多元一次方程组
- 一元多次方程
☆ 对于 多元一次方程组 的研究 产生了 线性代数 ， 分如下阶段：
- 阶段1：从 解方程 到 向量空间 。
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数学家从中，总结出 ， m维向量的概念：
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接着又 把所有m维向量 放在一起 得到 m维向量空间，记为 ?? ， 并进一步研究出多种关于向量空间的知识：线性表示、线性无关、秩、向量的加法、数乘，等，以及 点乘（内积）:
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然后，又由多个向量拼接出了 矩阵：
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并总结出 矩阵的 转置 ， 加减法，等，以及乘法：
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这样 线性方程组 就可以表示为 矩阵相乘的形式：
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再对其求解过程进行分析，发现了 行列式：
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以及 ， 著名的 克莱姆法则 。
行列式 还有助于 求解 矩阵的 逆阵！
- 阶段2：从 向量空间 到 线性空间：
根据 研究向量空间的性质 ， 可知：线性空间 V 中的 极大线性无关元素组 {ε?, ε? , ? , ε_m} （被称为 向量空间的一组基），可以用来线性表示 线性空间中的任意元素 α = a? ε? + a ?ε? + ? + a_mε_m，其线性表示的系数构成一个 向量 a = (a?, a?, ?, a_m) ， 也就是说 取定 一组基 {ε?, ε? , ? , ε_m}，则 线性空间 V 中 的 每一个元素 α 和 一个向量 a 一一对应，于是 我们 依然称 线性空间的元素 α 为 向量，而将 其对应向量 a 的维度 m（也就是 基的个数）定义为 线性空间 V 的维度 。
线性空间的出现 ， 标志着数学抽象化进程的开端 。
接着，数学家对 线性空间 之间的 能保持 向量的加法和数乘的 线性映射 进行了深入研究，其中的最重要发现是：
一旦线性空间 的基取定，则 线性映射 和 矩阵 一一对应，线性映射的复合就是 对应矩阵 的乘法 。
与之类似 ， 数学家还研究了，r 个 线性空间 到 实数域 ? 的 能保持 向量的加法和数乘的 r重线性函数，从而有了：二重对称线性函数——二次型 的知识，并且 还发现： n阶 行列式 就是 n 维线性空间 上的 使得 det(E) = 1 的 唯一 n重反对称线性函数 det 。
- 阶段3：从 线性空间 到 内积空间：
从 内积 分别导出 距离 和 范数 ， 使得 内积空间 变为 距离空间 和 赋范线性空间，以及具有了 完备性问题 。
将 内积定义 扩展到 复数域 之上，得到 酉空间 。