相向而行是什么意思相向而行是什么意思相对而行是什么意思 _经验知识

数的概念从直观方法到算法化和推理化的发展
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听一听：《作为教育任务的数学》P211-224
读一读：数的概念从直观方法到算法化和推理化的发展
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图像
我们已经多次讨论了具体数的相乘，它的一种直观形象就是矩形模型，另一种直观形象是借助于线性函数的图象表示。
用图象表示函数显然不仅是一种形象化的工具，也是一种解题工具。即使是那些不现实的自行车相遇与超过问题，控制湖水量的源与流问题，以及酒与饮料的混合问题，都可以通过图象来自然地解决。
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在函数出现以前就使用图象，函数的图象表示就可以更系统地学习了。例如，男孩生于1962年7月1日，他父亲生于1937年1月1日：什么时候男孩年龄是他父亲年龄的一半？又如列车从A和B两地以不同速度相向而行：什么时候两车相遇？再如，甲每月从自己的帐上转一笔金额到乙的帐上：什么时候乙的帐户总金额会大于甲？这些都可以借助图像很好的解决。
计算机
算盘是一个教十进位值的直观材料，计算机也是，当然我指的是非自动的，曲柄台式计算机（不是电子计算机）。我建议在刚引入加法像8+5时，就开始使用计算机，同时也不丢弃算盘。我们可以对计算机这个材料寄予什么希望呢？
首先是为学生今后进一步使用计算机打好基础，更为重要的是非自动计算机能帮助学生透彻理解十进位值制，它是位值加、减法和转换的直觉演示，它表明数字如何存入，乘、除如何由重复进行加、减法完成，以及什么是余项，小数点的位置如何等等。另一个优点是使学生可以面对实际，把学生从陷于计算错误而不能自拔的窘境中解救出来，特别在长除法中。
比例运算法则和分数
在算术的教学中，数与运算一开始都是直观的数据，应用也有相当的直观性。接着算术逐渐变得愈来愈抽象、所涉及的数与应用问题的内容都超过了想象，但那些学过代数的人会用代数方法来解问题，即使问题比较复杂，他也会设置未知数以使问题代数化。
三个量a、b、c中，ab=c，已知两个量，求第三个量；或四个量a、b、c、d中，abc=d，已知三个量，求第四个量（例如，路程=速度×时间，或利息=本金×利率×年数等等）。学生应通过多样化的直观方法去对付这些问题，直观方法自然处于准数学的基础水平，因而学生又不应停留在这一水平上，因为他还必须继续学数学。在这样的背景下，较早表现出来的数学动向，就是分析与理解一个人的行为，一些有才能的算术教学法专家尝试了这个方法，但却很少成功。他们希望学生能逻辑地分析自己的活动，先借用于日常语言——像这一类的阐述：a与b的商是一个数，b乘以它得a 。它确实比用x简单，但这种描述方式是人为的初等化，认为学生不够成熟，不会使用x，但却相信他们能用这样的阐述来解题，那是一个错误。
再以分数为例，传统上直观引入分数的效果极好，因为儿童可用直观的分数进行计算，但教师随即转向算法的分数，就使学生陷入了进退维谷的困境。虽然学了化简法则、四则运算法则以及混合运算，但这只是无意义的游戏。因为2/3+1/3，2/3-1/3，2/3×1/3，2/3÷1/3这样简单的运算，只要睁开眼就可在数轴上看出来，但对复杂的分数27/131和8/47学生能做些什么呢？当然这些数能在数轴上找到大致位置，但学生应先学会粗略估以免出错。复杂分数的运算在算术中是很难激发学生兴趣的。

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