大学数学报告怎么写( 二 ) _数学

<0, >0时，黑赛矩阵是负定的，f在点取得极大值；（3）当<0时，黑赛矩阵是不定的，f在点不能取得极值；（4）当=0时，黑赛矩阵是半定的，不能肯定f在点是否取得极值。
因此，我们可以类比无条件极值，探讨条件极值，看它是否也满足上面的四条判别法。二有关条件极值的一个定理为了研究上面的问题，我们首先给出一个常用定理：首先，这个定理需要条件：在的限制下，要求目标函数的极值。
则有定理：设在满足上面的限制下，求函数的极值问题，其中与在区域D内有连续的一阶的偏导数。若D的内点是上述问题的极值点，且雅可比矩阵的秩为m，则存在m个常数，使得为拉格朗日函数的稳定点，即为下述n+m个方程的解。
三分析讨论以上问题通过引入上面的定理，我们可以得到它的稳定点，而我们接下来考虑的是条件极值能否在稳定点处取得极值，且如果取得极值，它取得的是极大值还是极小值。我们在这里还需用到黑赛矩阵。
设是F的稳定点。令，并且使固定，考虑在点的黑赛矩阵此时，分类讨论：1当是正定的或负定的。
这是是的极值点。而我们限制了。
因此也是的相应的条件极值点。2当是不定的或半正定的或半负定的。
这是可能不是的极值点，但也有可能是的极值点。我们可以通过，。
求出，，…，，，…，之间的关系，得到，…，的二次型如果此时其系数矩阵是正定的，则是的极小值点；如果是负定的，则是的极大值点。通过以上分析，我们就可以得出一个重要的结论：条件极值类比与无条件极值第一，二条是成立的，对于第四条是不适应的，对于第三条虽然开始也无法判断，但可以找到其他途径，求出是否有极值。
四实例分析我们首先举出一个例子：已知f(x,y,z)=x+y+z，求它在限制条件xyz=下的极值点。解：根据题意，我们首先设F(x,y,z,)=f(x,y,z)+ (xyz-)接着，我们算dF(x,y,z,)=0，从而解得x=y=z=c，=如果c=0，则可得f(x,y,z)在xyz=下无极值点当c0时，则在=，=（c,c,c）处，有=此时此矩阵不是正定的，也不是负定的。
再对xyz-=0求微分，在=（c,c,c）处，解得dz=-dx-dy，代入得=（dxdy+dydz+dzdx）=（——dxdy—）=当c>0时，正定，（c,c,c）为极小值点，当c<0，负定，（c,c,c）为极大值点。因此，通过这个例子，我们在不能判断黑赛矩阵是正定还是负定的情况下，可以通过适当的转化使极值点求出来。
其实，我们也可以通过其他类似的方法来求有关条件极值的有关问题。例如，我们可以用二阶微分的方法来求条件极值。
对于二阶微分，有公式：我们通过举个例子来加以说明。已知f=xyz，求它在限制条件下的极值。
解：令F(x,y,z,)= xyz+ （)求dF=0，则=yz+2x=0 =xz+2y=0 =xy+2z=0 =0则可以解得八个稳定点当=—时，有稳定点（1,1,1）,(1，—1，—1)，（—1，—1,1），（—1,1，—1）当 =时，有稳定点（1,1，—1），（—1，—1.—1），（—1,1,1）, (1，—1,1)则dF=(yz+2x)dx+(xz+2y)dy+(xy+2z)dz=我们首先来判断点（1,1,1）是否为极值点，求出稳定点的微分dz=—dx—dy，且（，）=—+=——+2(dx+dy)dz，把dz=—dx—dy带进去，得（，）=———2<0，则可得（1,1,1）是极大值点，同理可得（1，—1，—1），（—1，—1,1），（—1,1，—1）是极大值点，而（1,1，—1），（—1，—1.—1），（—1,1,1）, (1，—1,1)都是极小值点，进而我们可求出此时极大值点所对应的极值都为1，极小值点所对应的极值都为—1，从而得解。[参考文献][1] 华东师范大学数学系数学分析下册第三版[M]高等教育出版社 2001[2]孙振绮丁效华工科数学分析例题与习题下册[M]机械工业出版社 2008 。