高中数学集合_全集和集合的区别？高中数学 _生活经验

高中数学的集合怎么学?集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的集体。其中，构成集合的这些对象则称为该集合的元素。
例如，全中国人的集合，它的元素就是每一个中国人。通常用大写字母如A,B,S,T,...表示集合，而用小写字母如a,b,x,y,...表示集合的元素。若x是集合S的元素，则称x属于S，记为x∈S 。若y不是集合S的元素，则称y不属于S，记为y∉S 。

文章插图
扩展资料集合特性：
1、确定性
给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。
2、互异性
一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用多重集，其中的元素允许出现多次。
3、无序性
一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。集合上可以定义序关系，定义了序关系后，元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言，元素之间没有必然的序。高中数学集合的概念集合概念是与非集合概念相对的。数学中，把具有相同属性的事物的全体称为集合在某一思维对象领域，思维对象可以有两种不同的存在方式。一种是同类分子有机结合构成的集合体，另一种是具有相同属性对象组成的类。集合概念与非集合概念分别是对思维对象集合体、对象类的反映。集合体的根本特征，决定集合概念只反映集合体，不反映构成集合体的个体。在不同场合，同一语⋼/p>高一数学集合中的全集是什么意思，全集是指一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U 。
数学上，特别是在集合论和数学基础的应用中，全类（若是集合，则为全集）大约是这样一个类，它（在某种程度上）包含了所有的研究对象和集合。
任意集合都可能是全集。当研究一个特定集合的时候，这个集合就是全集。若研究实数，则所有实数的集合实数线R就是全集。这是康托尔在1870年代和1880年代运用实分析第一次发展现代朴素集合论和集合的势的时候默认的全集。康托尔一开始只关心R的子集。

文章插图
扩展资料
集合的性质：
1、确定性
给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。
2、互异性
一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用多重集，其中的元素允许出现多次[6] 。
3、无序性
一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。集合上可以定义序关系，定义了序关系后，元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言，元素之间没有必然的序。
参考资料来源：百度百科-全集高中数学集合集合概念是与非集合概念相对的。数学中，把具有相同属性的事物的全体称为集合在某一思维对象领域，思维对象可以有两种不同的存在方式。一种是同类分子有机结合构成的集合体，另一种是具有相同属性对象组成的类。集合概念与非集合概念分别是对思维对象集合体、对象类的反映。集合体的根本特征，决定集合概念只反映集合体，不反映构成集合体的个体。在不同场合，同一语⋼/p>高中数学集合的概念集合概念是与非集合概念相对的。数学中，把具有相同属性的事物的全体称为集合在某一思维对象领域，思维对象可以有两种不同的存在方式。一种是同类分子有机结合构成的集合体，另一种是具有相同属性对象组成的类。集合概念与非集合概念分别是对思维对象集合体、对象类的反映。集合体的根本特征，决定集合概念只反映集合体，不反映构成集合体的个体。在不同场合，同一语⋼/p>高中数学集合知识总结高考一轮复习教案（集合）
一．课标要求：
1．集合的含义与表示
（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；
2．集合间的基本关系
（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；
3．集合的基本运算
（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
（3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
二．命题走向
有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。
高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为：（1）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。
三．要点精讲
1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。
（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作；若b不是集合A的元素，记作；
（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；
确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；
互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；
无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；
（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；
列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；
描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
（4）常用数集及其记法：
非负整数集（或自然数集），记作N；
正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R 。
2．集合的包含关系：
（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作A B（或）；
集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A B且B A，则称A等于B，记作A=B；若A B且A≠B，则称A是B的真子集，记作AB；
（2）简单性质：1）A A；2） A；3）若A B，B C，则A C；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集）；
3．全集与补集：
（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；
（2）若S是一个集合，A S，则， = 称S中子集A的补集；
（3）简单性质：1） ( )=A；2） S= ， =S 。
4．交集与并集：
（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集。
（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。。
注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。
5．集合的简单性质：
（1）（2）
（3）（4）；
（5）（A∩B）=（ A）∪（ B），（A∪B）=（ A）∩（ B）。
四．典例解析
题型1：集合的概念
例1．设集合，若，
解：由于中只能取到所有的奇数，而中18为偶数。则。
例2．设集合P={m|－1＜m≤0 ，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立，则下列关系中成立的是P Q
解：Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立＝，对m分类：
①m=0时，－4＜0恒成立；
②m＜0时，需Δ=（4m）2－4×m×（－4）＜0，解得m＜0 。
综合①②知m≤0，
∴Q={m∈R|m≤0} 。
点评：该题考察了集合间的关系，同时考察了分类讨论的思想。集合中含有参数m，需要对参数进行分类讨论，不能忽略m=0的情况。
题型2：集合的性质
例3．（2000广东，1）已知集合A={1，2，3，4}，那么A的真子集的个数是（）
点评：该题考察集合子集个数公式。注意求真子集时千万不要忘记空集是任何非空集合的真子集。同时，A不是A的真子集。
变式题：同时满足条件：① ②若，这样的集合M有多少个，举出这些集合来。
答案：这样的集合M有8个。
例4．已知全集，A={1, }如果，则这样的实数是否存在？若存在，求出，若不存在，说明理由。
解：∵ ；
∴ ，即＝0，解得
当时，，为A中元素；
当时，
当时， ∴这样的实数x存在，是或。
另法：∵
∴ ，
∴ ＝0且 ∴ 或。
点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当时，”不能满足集合中元素的互异性。此题的关键是理解符号是两层含义：。
变式题：已知集合，, ,求
解：由可知，
（1），或（2）
解（1）得，
解（2）得，
又因为当时，与题意不符，所以，。
题型3：集合的运算
例6．（06安徽理，1）设集合，，则等于（）
解：，，所以。
题型4：图解法解集合问题
例7．（2003上海春，5）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且A B ，则实数a 图
的取值范围是_____ 。
解：∵A={x|－2≤x≤2}，B={x|x≥a}，又A B，利用数轴上覆盖关系：如图所示，因此有a≤－2 。

例8．（1996全国理， 1）已知全集I＝N*，集合A＝｛x｜x＝2n，n∈N*｝，B＝｛x｜x＝4n，n∈N｝，则I＝A∪（ B）
解：方法一： A中元素是非2的倍数的自然数， B中元素是非4的倍数的自然数，显然，只有C选项正确.
图
方法二：因A＝｛2 ， 4 ， 6 ， 8…｝，B＝｛4，8，12 ， 16，…｝，所以 B＝｛1 ， 2，3，5，6，7，9…｝，所以I＝A∪ B，故答案为C.
方法三：因B A ，所以（）A （）B，（）A∩（ B）＝ A，故I＝A∪（ A）＝A∪（ B）。
方法四：根据题意，我们画出Venn图来解，易知B A，如图：可以清楚看到I=A∪（ B）是成立的。
点评：本题考查对集合概念和关系的理解和掌握，注意数形结合的思想方法，用无限集考查，提高了对逻辑思维能力的要求。
题型5：集合的应用
例9．向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人。问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
解：赞成A的人数为50× =30，赞成B的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B 。
设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为 +1,赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x 。依题意(30－x)+(33－x)+x+( +1)=50,解得x=21 。所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8
点评：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握。本题主要强化学生的这种能力。解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来。本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索。画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系。
例10．求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个？
解：如图先画出Venn图，不难看出不符合条件
的数共有（200÷2）＋（200÷3）＋(200÷5)
－(200÷10)－(200÷6)－(200÷15)
＋(200÷30)＝146
所以，符合条件的数共有200－146＝54（个）
点评：分析200个数分为两类，即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法。
题型7：集合综合题
例11．（1999上海，17）设集合A={x||x－a|<2}，B={x| <1}，若A B ，求实数a范围。
解：由|x－a|<2 ，得a－2<x<a+2，所以A={x|a－2<x<a+2} 。
由 <1，得 <0，即－2<x<3 ，所以B={x|－2<x<3} 。
因为A B，所以，于是0≤a≤1 。
点评：这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。主要考查集合的概念及运算，解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法。在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法。
例12．已知{an}是等差数列， d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn,设集合A={(an, )|n∈N*},B={(x,y)|x2－y2=1,x,y∈R} 。
试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明：
（1）若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；
（2）A∩B至多有一个元素；（3）当a1≠0时，一定有A∩B≠。
解：（1）正确；在等差数列{an}中， Sn= ,则 (a1+an),这表明点(an, )的坐标适合方程y (x+a1),于是点(an, )均在直线y= x+ a1上。
（2）正确；设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组的解，由方程组消去y得：2a1x+a12=－4(*)，
当a1=0时，方程(*)无解，此时A∩B= ；
当a1≠0时，方程(*)只有一个解x= ,此时，方程组也只有一解 ,故上述方程组至多有一解。
∴A∩B至多有一个元素。
（3）不正确；取a1=1 ， d=1，对一切的x∈N* ，有an=a1+(n－1)d=n>0,>0，这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1=1≠0 如果A∩B≠，那么据(2)的结论，A∩B中至多有一个元素(x0,y0),而x0= ＜0,y0= ＜0，这样的(x0,y0) A,产生矛盾，故a1=1,d=1时A∩B=，所以a1≠0时，一定有A∩B≠ 是不正确的。
点评：该题融合了集合、数列、直线方程的知识，属于知识交汇题。
变式题：解答下述问题：
（Ⅰ）设集合，,求实数m的取值范围.
分析：关键是准确理解的具体意义，首先要从数学意义上解释的意义，然后才能提出解决问题的具体方法。
解：
的取值范围是 UM={m|m<-2}.
（解法三）设这是开口向上的抛物线，，则二次函数性质知命题又等价于
注意，在解法三中，f(x)的对称轴的位置起了关键作用，否则解答没有这么简单。
（Ⅱ）已知两个正整数集合A={a1,a2,a3,a4},
、B.
分析：命题中的集合是列举法给出的，只需要根据“交、并”的意义及元素的基本性质解决，注意“正整数”这个条件的运用，
（Ⅲ）
分析：正确理解
要使 ,
由
当k=0时，方程有解 ,不合题意；
当 ①
又由
由 ②，
由①、②得
∵b为自然数，∴b=2，代入①、②得k=1
点评：这是一组关于集合的“交、并”的常规问题，解决这些问题的关键是准确理解问题条件的具体的数学内容，才能由此寻求解决的方法。
五．思维总结
集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。
1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如、、、、=、 A、∪，∩等等；
2．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）；
3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。
① 区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；
② A B时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ 。
③若集合A中有n 个元素，则集合A的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是－1, 所有非空真子集的个数是。
④区分集合中元素的形式：
如；；
；；
；；
。
⑤空集是指不含任何元素的集合。、和的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。
⑥符号“ ”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系；符号“ ”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。
逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力。
全集和集合的区别？高中数学【高中数学集合_全集和集合的区别？高中数学】一般的，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U 。
集合（简称集）是数学中一个基本概念，它是集合论的研究对象，集合论的基本理论直到19世纪才被创立。最简单的说法，即是在最原始的集合论——朴素集合论中的定义，集合就是“确定的一堆东西” 。集合里的“东西”，叫作元素。
全集是集合的一种。