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<body>本文为“2022年第四届数学文化征文活动
我眼中的数学思想
作者 : 刘瑞祥
作品编号：097
数学思想是一个很大的题目，论述的人很多，但是有的文章虽然以“数学思想”为标题，而内容却未必真的是数学思想，可能只是具体的解题方法。本文谈谈我眼中的数学思想。需要提前说明的是，这里只是我——一个普通数学爱好者——眼中的数学思想。
一、抽象化思想
最重要、最基本的数学思想就是抽象化。打从人类认识数字开始，就有了抽象化思想，可以说抽象在数学中无所不在，理应成为数学思想中的No.I 。各种几何对象亦是抽象了的产物，比如点、线、面等等。尺规作图方面，直尺被抽象成无限长、无刻度的工具，圆规被抽象成脚距任意的工具，如此等等。进一步看，无论是集合，还是布尔代数，都是把研究对象尽量抽象，一直抽象到只剩一个字母作为躯壳而已。再比如欧拉对哥尼斯堡七桥问题的研究，也是把桥抽象成线，岛抽象为点的。抽象舍弃了与当下无关的次要因素，从而更深刻揭示事物的本质特征，展现出不同事物之间的共同点。而现代数学中的抽象早已超出了人类能直接想象的范围。
数学的抽象还影响到了其它学科。以力学为例，质点、质点组、刚体、弹性体等等就是客观实物不同程度的抽象。
二、确定性思想
自从数学诞生以来，数学问题的答案正误就像黑白一样分明。等于就是等于，不等于就是不等于。哪怕两者之间有着万亿分之一的差距，已经在现实中无法分辨，但在严格的数学上仍然是有区别的。这其中最佳例子就是圆周率，虽然现代数学已经可以计算出若干亿位数字，而它的精确表示方法仍然只是字母π 。

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说到这里我要补充一句，那就是伴随着现代数学的发展，好像这一思想已经变得过时了。不是有一本书就叫做《数学：确定性的丧失》吗？但在我这个低水平写手的眼里，这不过是一种误解，因为所谓“确定性的丧失”，其实是前提或者问题本身的变化而变化的。比如所谓非欧几何，因为前提（公设）和欧氏几何不同，所以才推出不同的结论。而要研究这些问题可能的结果，仍然需要数学。这正像工业化带来了环境污染，但要解决污染就要进一步发展工业。
三、公理化思想
说实话，这才是我第一个想到的数学思想，因为我毕竟是通读过《几何原本》的人。公理化方法其实基本就是逻辑法，在数学上的地位毋庸置疑，而其历史和意义我也不再重复。我只说一个问题：一般谈到公理化的人，往往会提到自洽性、独立性、完备性这三个特点。但从实用的角度来看，公理还应该具有简洁、方便的特点。比如三角形内角定理、勾股定理在一定程度上反映了平行公设，那为什么不以之代替平行公设呢？原因就在于不方便、不直观。

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公理又是反直观的产物，因为如果把全部数学（当然这里的“全部”是指某个研究领域的“全部”）都归为公理的产物，那么这些公理必然是已经去掉了直观的表象，只剩下一堆逻辑命题。这当然对某些领域是有益的，比如机器证明，但对于人们的理解却是困难的。
四、算法化思想
我们在称赞公理化的同时，不应该忘记算法化思想，或者也可以称为“机械化思想” 。不论这在古代是不是东方（中国）独有的思想，都无损于它独立于公理化思想的地位。它和公理化思想互相补充，相映成趣，宛如数学上的并蒂莲花。在数学上，凡是可以写成一定算法的内容，意味着具有简单、通用的解答方法，当然这个算法越简单就越好。比如用阿拉伯数字演算加减乘除，就比用罗马数字方便，再比如使用方程解应用题，就比直接列式容易，因为方程不但意味着多了一个条件（把未知量用字母表示出来），也意味着只要按照一定的程序，就可以得到结果。

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