数列求和公式_等比数列求和公式是什么？ _生活经验

自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导平方和的推导利用立方公式：
(n+1)³-n³=3n²+3n+1 ①
记Sn=1²+2²+....+n²， Tn=1+2+..+n=n(n+1)/2
对①式从1~n求和，得：
∑(n+1)³-n³=3∑n²+3∑n+∑1
(n+1)³-1=3Sn+3Tn+n
这就得到了Sn=n(n+1)(2n+1)/6
类似地，求立方和利用4次方公式：
(n+1)^4-n^4=4n³+6n²+4n+1
例如：
2^3= (1+1)^3 =1^3+3*1^2+3*1+1
3^3= (2+1)^3 =2^3+3*2^2+3*2+1
4^3= (3+1)^3 =3^3+3*3^2+3*3+1
. . . . . .
(n+1)^3=(n+1)^3=n^3+3*n^2+3n+1
去掉中间步，将右边第一项移到左边得：
2^3 - 1^3=3*1^2+3*1+1
3^3 - 2^3=3*2^2+3*2+1
4^3 - 3^3=3*3^2+3*3+1
. . . . . .
(n+1)^3-n^3=+3*n^2+3n+1
两边分别相加
(n+1)^3-1^3=3（1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2)+3(1+2+3+4+...+n)+n
1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2=[(n+1)^3-1^3-3(1+2+3+4+...+n)-n]/3
整理即得
1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2=n*(n+1)(2n+1)/6
扩展资料：
常见数列求和的方法：
1、公式法：
等差数列求和公式:
Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2
等比数列求和公式：
Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)
2、错位相减法
适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 { an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn
例如：an=a1+(n-1)d bn=a1·q^(n-1) Cn=anbn Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4.+anbn
qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)
Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)
Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) =a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q) Tn=上述式子/(1-q)
3、裂项法
适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式,即an=f(n+1)－f(n),然后累加时抵消中间的许多项。
参考资料来源：百度百科-数列求和斐波那契数列求和公式1、奇数项求和

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扩展资料：
斐波那契数列的应用：
1、生物应用
斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，如果选择树干上的一片叶子，将其计数为零，然后按顺序（假设没有损坏）计数叶子，直到达到适合这些叶子的位置，它们之间的叶子数基本上是斐波那契数。从一个位置移动到下一个位置的叶子称为周期。
叶子在一个周期内旋转的圈数也是斐波那契数。一个循环中叶数与叶旋转圈数之比称为叶序比（源自希腊语，意为叶的排列）。大多数叶序比是斐波那契数。
2、自然界中的应用
自然界中的斐波那契数列斐波那契数列在自然科学的其他分支，有许多应用。例如，树木的生长，由于新的枝条，往往需要一段时间的“休息”时间来自己生长，才能使新的枝条发芽。因此，例如，幼苗每隔一年生长一个新的枝条。
第二年，新树枝“休息”，老树枝仍在发芽。之后，老枝和老枝“休憩”一年的同时发芽，而当年的新枝则在第二年“休息” 。这样，一棵树每年的分枝数就构成了斐波那契数列。这个定律是生物学中著名的“鲁德维格定律” 。
参考资料来源：百度百科-斐波那契数数列求和 i的平方相加（1+4+9+16+.......n的平方）...1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6
证明如下：排列组合法）
由于

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1、一般的数列求和问题应从通项公式入手，若无通项公式，应先求通项公式，然后根据通项公式的特点选择合适的方法求和。
2、解决非等差、等比数列的求和问题主要有两种方法，一为将非等差、等比数列问题转化为等差、等比数列问题；二为不能转化为等差、等比数列的问题，可以考虑利用倒序相加法、错位相减法、裂项法、分组求和法等进行求和。
3、对于等比数列的求和问题，要注意判断公比是否为1，然后进行分类讨论．等差数列的求和公式有多种形式，要注意根据已知条件选择合适的求和公式。等比数列求和公式推导至少给出3种方法一、等比数列求和公式推导
由等比数列定义
a2=a1*q
a3=a2*q
a(n-1)=a(n-2)*q
an=a(n-1)*q 共n-1个等式两边分别相加得
a2+a3+...+an=[a1+a2+...+a(n-1)]*q
即 Sn-a1=(Sn-an)*q,即（1-q）Sn=a1-an*q
当q≠1时,Sn=(a1-an*q)/（1-q） (n≥2)
当n=1时也成立.
当q=1时Sn=n*a1
所以Sn= n*a1（q=1）；(a1-an*q)/（1-q） (q≠1) 。
二、等比数列求和公式推导
错位相减法
Sn=a1+a2 +a3 +...+an
Sn*q= a1*q+a2*q+...+a(n-1)*q+an*q= a2 +a3 +...+an+an*q
以上两式相减得（1-q）*Sn=a1-an*q
三、等比数列求和公式推导
数学归纳法
证明：（1）当n=1时，左边=a1，右边=a1·q0=a1，等式成立；
（2）假设当n=k（k≥1，k∈N*）时，等式成立，即ak=a1qk-1；
当n=k+1时， ak+1=ak·q=a1qk=a1·q（k+1）-1；
这就是说，当n=k+1时，等式也成立；
由（1）（2）可以判断，等式对一切n∈N*都成立。
参考资料：百度百科词条--等比数列求和公式无穷等比数列求和公式是？其前N项和公式为：
1、Sn=[a1（1-q^n）]/（1-q）（q≠1）
2、Sn=（a1-an×q）/（1-q）（q≠1）。
若q的绝对值大于等于1，则无穷等比数列的各项和不存在，不能用上面的公式。
例如：

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性质：
1、若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq 。
2、在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。
3、若“G是a、b的等比中项”则“G^2=ab（G≠0）” 。
4、若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则{a2n}，{a3n}…是等比数列。
5、若（an）为等比数列且各项为正，公比为q，则（log以a为底an的对数）成等差，公差为log以a为底q的对数。
6、等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)
参考资料：百度百科—无穷等比数列
等比数列求和公式如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
（1）等比数列的通项公式是：

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扩展资料：等比数列是指如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用G、P表示。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0 。其中{an}中的每一项均不为0 。注：q=1 时，a n为常数列。
参考资料：等比数列公式-百度百科
等比数列求和公式是什么？求和公式

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相关应用：
远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中，下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有几盏灯。
每层塔所挂的灯的数量形成一个等比数列，公比q=2，我们设塔的顶层有a1盏灯。7层塔一共挂了381盏灯，S7=381 ，按照等比求和公式，那么有a1乘以1-2的7次方，除以1-2，等于381.能解出a1等于3. 尖头必有3盏灯。
【数列求和公式_等比数列求和公式是什么？】参考资料来源：百度百科-等比数列求和公式