欧拉！天才高斯——19世纪最伟大的数学家，近代数学的奠基者( 二 )

高斯把勒让德在两年前发表的二次互反律称作黄金定律。在后来的作品中，高斯试图得出同余式x^n=p(modq)对于n=3和4的类似定理；但对这两种情况，他发现有必要把“整数”这个词的意义扩大到包括所谓的高斯整数，亦即形如a+bi的整数，式中，a和b都是整数。高斯整数构成了一个整环，像实整数整环一样，但更一般。可整除性的问题变得更复杂，因为5不再是一个素数，可分解为两个“素数”1+2i和1-2i的乘积。事实上，任何形如4n+1的实素数都不是“高斯素数”，而形如4n-1的实素数依然是一般化意义上的素数。在高斯的《算术研究》中，包括了算术基本定理，它是在高斯整数的整环中继续有效的基本原理之一。事实上，任何一个因子分解是唯一的整环今天都被称作高斯整环。《算术研究》的贡献之一是下面这个定理的证明，这个定理自欧几里得时代以来就被人所知：
任何一个正整数都可以用一种、且只能用一种方式表示为素数的乘积。
高斯关于素数的发现，并没有全都包含在《算术研究》中。在他还是一个14岁的孩子时，高斯就在一张对数表的背面，用德文写下了这样一行隐晦的文字：

文章插图
这行文字说的是一个著名的素数定理：小于给定整数a的素数的个数在a无穷递增时趋近于a/lna。
正如我们已经看到的那样，勒让德曾经接近于预先发现这个定理；但奇怪的是，正如我们所推测的那样，高斯写下了这个定理，但他一直对这个巧妙的结论保守秘密。我们不知道他是否证明了这个定理，甚至也不知道他何时写下了这个定理的陈述。素数的分布对数学家有着强烈的吸引力。
1845年，当高斯已经是个老人的时候，巴黎的一位教授约瑟夫·L.F.贝特朗提出了这样一个猜想：如果n>3，那么，在n与2n（或者更准确地说是2n-2）之间至少包括一个素数。这个猜想被称作贝特朗公设，在1850年被圣彼得堡大学的帕夫努蒂·切比雪夫所证明。切比雪夫作为他那个时代首屈一指的俄国数学家，是罗巴切夫斯基的竞争对手，他后来成了法兰西科学院和英国皇家学会的外籍院士。切比雪夫明显不知道高斯论述素数的作品，他能够证明，如果π(n)(lnn)/n在n无穷递增时趋近于一个极限，那么，这个极限必定是1；但他不能证明一个极限的存在。直到切比雪夫去世两年之后，一个证明才广为人知。
关于素数的个数和分布的问题，从欧几里得时代迄至今日，让很多数学家神魂颠倒。有一个定理，高斯本人在《算术研究》中给出了一个惊人的实例，说明了这样一个事实：素数的属性甚至以最出人意料的方式侵入了几何学的领域。
高斯在《算术研究》的结尾部分，收入了他在数学领域作出的最早的重要发现：正七边形的作法。他通过证明无穷多种可能的正多边形中哪些能作出、哪些不能作出，从而把这一课题带向了其逻辑结果。一般性的定理，比如高斯眼下所证明的，远比一个特例更有价值，不管这个特例多么壮观。我们应该还记得，费马曾经相信，形如

费马数

的数是素数，欧拉后来证明这个假说是错误的。高斯已经证明了，正17边形是可以作出的，问题自然出现了：正257边形和正65537边形是否可以用欧几里得的工具作出。在《算术研究》中，高斯对这个问题的回答是肯定的，他证明了，只要N是
的形式(式中，m是任一正整数，pn是不同的费马素数)，那么，正N边形就可以做出。这个问题还剩下一个方面高斯没有回答，而且迄今为止没有人作出回答，这就是：
费马素数的个数是有限还是无限？