欧拉！天才高斯——19世纪最伟大的数学家，近代数学的奠基者( 四 )

如果通过一个良态曲面S上的一点P作S的法线N，则通过N的平面束将会跟曲面S相交于一簇平面曲线，其中每一条曲线都有一个曲率半径。有着最大曲率半径和最小曲率半径(R和r)的曲线的方向，被称作S在点P上的主方向，它们始终互相垂直。R和r的量值被称作S在点P上的主曲率半径，S在点P上的高斯曲率被定义为K=1/rR。量值为

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被称作S在点P上的平均曲率。高斯给出了根据曲面对于不同坐标系（曲线坐标系和笛卡尔坐标系）的偏导数的条件求高斯曲率K的公式；他还发现了一些关于在曲面上画出的曲线簇（比如测地线）的属性的定理，就连他也认为是“引人注目的定理”。
高斯通过使用欧拉提出的一个曲面的参数方程，开始对曲面的处理。高斯证明了，一个曲面的属性仅依赖于E、F和G。

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这导致了很多的结果。特别是，它使得我们很容易说，曲面的属性是恒定的。正是在高斯的这一工作的基础上，黎曼及后来的几何学家转变了微分几何的主题。
高斯的晚期工作高斯晚期研究贡献了两篇重要的短文：一篇是“代数中哈里奥特定理”的证明，另一篇包含了高斯的最小约束原理。历史学家常常引用第一篇论文（发表于1832年），因为它包含了高斯的复数的几何表示。这篇论文作为整体的重要性在于下面这个事实：它指出了一条道路，可以把数论从实数扩大到复数领域，甚至更远。正如上文已经指出的那样，这在数论领域后来研究者的工作当中是至关重要的。
高斯在他生命的最后20年里，只发表了两篇有数学意义的重要论文。一篇是他对代数基本定理的第四个证明，这个证明是他在1849年自己的博士周年纪念的时候发布的，距离他发表第一个证明已经时隔50年。另外是一篇关于位势理论的很有影响论文，发表于1840年。地磁学问题在19世纪30年代和40年代早期占了他的很多时间；在30年代晚期，他还投入了不少时间研究跟重量和度量有关的问题。他生命中最后十年的大部分出版物跟天文台的工作有关；涉及到课题有：新发现的小行星、对海王星的观测。
1855年2月23日，高斯死于心脏病发作。