我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种 ， 为勾股定理作的图注也不少 ， 其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明 。采用的是割补法： 如图 ， 将图中的四个直角三角形涂上朱色 ， 把中间小正方形涂上黄色 ， 叫做中黄实 ， 以弦为边的正方形称为弦实 ， 然后经过拼补搭配 ， “令出入相补 ， 各从其类” ， 他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的 。
即“勾股各自乘 ， 并之为弦实 ， 开方除之 ， 即弦也” 。赵爽对勾股定理的证明 ， 显示了我国数学家高超的证题思想 ， 较为简明、直观 。
西方也有很多学者研究了勾股定理 ， 给出了很多证明方法 ， 其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的 。据说当他证明了勾股定理以后 ， 欣喜若狂 ， 杀牛百头 ， 以示庆贺 。
故西方亦称勾股定理为“百牛定理” 。遗憾的是 ， 毕达哥拉斯的证明方法早已失传 ， 我们无从知道他的证法 。
下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明 。如图 ， S梯形ABCD= (a+b)2 = (a2+2ab+b2) ， ① 又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED = ab+ ba+ c2 = (2ab+c2) 。
② 比较以上二式 ， 便得 a2+b2=c2 。这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式 ， 从而使证明相当简洁 。
1876年4月1日 ， 伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明 。5年后 ， 伽菲尔德就任美国第二十任总统 。
后来 ， 人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明 ， 就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法 ， 这在数学史上被传为佳话 。在学习了相似三角形以后 ， 我们知道在直角三角形中 ， 斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似 。
如图 ， Rt△ABC中 ， ∠ACB=90° 。作CD⊥BC ， 垂足为D 。
则 △BCD∽△BAC ， △CAD∽△BAC 。由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ? BA ， ① 由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ? AB 。
② 我们发现 ， 把①、②两式相加可得 BC2+AC2=AB(AD+BD) ， 而AD+BD=AB ， 因此有 BC2+AC2=AB2 ， 这就是 a2+b2=c2 。这也是一种证明勾股定理的方法 ， 而且也很简洁 。
它利用了相似三角形的知识 。在对勾股定理为数众多的证明中 ， 人们也会犯一些错误 。
如有人给出了如下证明勾股定理的方法： 设△ABC中 ， ∠C=90° ， 由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC ， 因为∠C=90° ， 所以cosC=0 。所以 a2+b2=c2 。
这一证法 ， 看来正 。
8.求一篇初二数学小论文数学小论文 著名数学家华罗庚说过：“宇宙之大 ， 粒子之微 ， 火箭之速 ， 化工之巧 ， 地球之变 ， 生物之谜 ， 日月之繁 ， 无处不用到数学 。”特别是二十一世纪的今天 ， 数学的应用更是无所不在 。那么 ， 我们如何从小打下坚实的数学基础 ， 究竟什么样的课堂教学才适合新一代的学生呢？我认为 ， 在课堂中 ， 由学生去担任学习的主角 ， 才是我们的心愿 。那么 ， 数学活动课就是让我们充分体现自主学习的一种教学方式 。活动课上 ， 在老师的指导下 ， 我们分成小组 ， 通过自己动手去测量、拼凑、剪切、计算 ， 去探索发现的规律、掌握数学知识 。这样 ， 即培养了我们的动手能力 ， 又提高了我们的思维能力 ， 而且让我们初步尝到了数学家研究问题成功时的滋味 ， 使我们对数学的学习兴趣倍增 。例如 ， 我们上《平行四边形面积得计算》这节课时 ， 老师让我们分成几个小组 ， 发一些平行四边形的小纸片 ， 让同学们互相讨论 ， 怎样使一个平行四边形经过剪贴、拼凑变成一个我们已经会计算面积的图形呢？大家七嘴八舌的讨论开了 ， 有的同学发现可以用剪刀沿着平行四边形的高 ， 把它剪成一个直角三角形和一个直角梯形 ， 然后可以把它们拼成一个长方形；一些同学又发现还可以从平行四边形的任意一条高剪开 ， 就得到两个直角梯形 ， 依然可以拼成一个同样大小的长方形 。同学们通过观察、思考 ， 认识到拼成的长方形的“长”和“宽” ， 分别就是原来平行四边形的“底边”和“高” 。由此 ， 大家终于自己找到了平行四边形面积公式为：S=ah 。再比如 ， 上《有余数的除法》这节课时 ， 老师采用让同学们玩扑克牌的游戏 ， 使大家很快理解和掌握了有余数的除法的计算规律 ， 让大家在轻松愉快的活动中学到知识 。我每次做数奥都是拿起一道题拉起来就做 ， 因为我觉得这样做起来很快 。可是今天做数奥时 ， 有一道题改变了我的看法 ， 做得快不一定是做得对 ， 主要还是要做对 。今天 ， 我做了一道题目把我难住了 ， 我苦思冥想了好几个小时都没有想出来 ， 于是我只好乖乖地去看基础提炼 ， 让它来帮我分析 。这道题目是这样的：求3333333333的平方中有多少个奇数数字？分析是这样的：3333333333的平方就是3333333333*3333333333 ， 这道乘法算式由于数字太多使计算复杂 ， 我们可以运用转化的方法化繁为简 ， 也就是把一个因数扩大3倍 ， 另一个因数缩小3倍 ， 积不变 。使题目转化为求9999999999*1111111111=(10000000000-1)*1111111111=11111111110000000000-1111111111=11111111108888888889因此 ， 乘积中有十个奇数数字 。这道题 ， 我们还可以位数少的两个数相乘算起 ， 就能发现积中奇数的数字个数 。即3*3=9→积中有1个奇数数字 。33*33=1089→积中有2个奇数数字 。333*333=110889→积中有3个奇数数字 。3333*3333=11108889→积中有4个奇数数字 。…… 从上面试算中 ， 容易发现积是由1,0,8,9四个数字组成的 ， 1和8的个数相同 ， 比一个因数中的3的个数少1,0和9各一个 ， 分别在1和8的后面 。积中奇数的数字个数与一个因数中3的个数相同 ， 可以推导出原题的积是：11111111108888888889 ， 积中有10个奇数数字 。做了这道题 ， 我知道做数奥不能求快 ， 要求懂它的方法 。总之 ， 我认为用活动课的方式上数学课 ， 是我们小学生非常喜欢的 。在课堂上 ， 每个同学对知识的探索过程充满了好奇心 ， 都迫切渴望通过自己的实验活动 ， 去找到解决问题的方法 。学习中 ， 我们充分体验套了做学习的主人的快乐和自豪 。希望老师们能多用活动课的方式来上数学课 。这样 ， 我们将会学的更扎实、更轻松、更灵活、更优秀 。