2.多元函数的连续性我们就以二元函数z=f(x,y)为例子 。我们已经说过 ， 它的图像表示的就是空间中的一个曲面：
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各种各样的空间曲面
多元函数在一点的连续性同样是用该点处函数的极限值等于函数值来定义的 。
在一点的函数值非常好算，只需要把该点处的x和y带到函数表达式里面即可 。那么最重要的问题来了，多元函数在一点的极限值又如何来定义和计算呢？
二元函数的自变量是平面上的一个点，一个点对应一个函数值 ， 于是我就可以给先给出一个极限粗略的定义 。设P是平面上的动点，P0是平面上的一个定点 ， 当P无限地朝向P0运动时，f(P)的值无限向某个数L靠近，那我们就说这个二元函数在P0处的极限等于L 。
当然这只是一个很粗略的定义，要想下一个严格的定义，我们则需要使用ε-δ语言 。在一元函数里面，我们需要让x和a离得特别近，用的方法就是|x-a|小于一个δ 。同样地，这里我们只需要让P和P0的距离小于δ即可 。而平面上的两点距离可以使用勾股定理计算 ， 于是我们可以写出如下定义，设P点的坐标是(x,y)，P0点的坐标是(x0,y0) ， 就有
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我们也可以用图形来解释一下这个定义，当P点离P0的距离小于δ的时候 ， 意味着P点落在以P0为圆心，δ为半径的圆里面 ， 而此时，f(P)的值需要落在L上下相距ε的两个平面之间 ， 图形如下：
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当然，有的时候为了计算上的方便，我们把圆形改成正方形，于是就得到了下面等价的定义：
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知道了函数的极限，我们就可以来定义函数的连续性了 。同样的，按照一元函数的思路，我们可以来定义：若函数在P0点的极限值等于函数值，则称它在该点处是连续的 ， 否则称为间断的 。即函数在一点处连续需要满足的式子是：
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所以我们的核心还是归结为到求多元函数在一点处的极限值 。拿它跟P0处的函数值相比较，二者相等即为连续 。而对于间断的情况 ， 分为两种可能：一种可能是函数在这一点的极限值存在，但是这个极限值和函数值不相等；第二种情况是函数在这一点的极限根本就不存在，就更无所谓与函数值相等了 。这两种情况我们分别来举例子 。
- 极限值存在 ， 但不等于函数值的例子
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这是个分段函数，在(0,0)点以外的地方 ， 分母是2次式，分子是3次式，因此考虑极坐标代换的方法 。回忆一下极坐标转直角坐标的转化公式：
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于是可以得到：
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我们来观察一下这个式子 ， 括号里面是三角函数的式子，而三角函数一定位于-1~1之间，所以括号里面的表达式一定位于-2~2之间 ， 于是它就是一个有界量 。而当P向P0靠近的时候，3r一定也是向0靠近的，所以它是个无穷小量 。而我们知道 ， 无穷小量乘以有界量，极限一定还等于0，于是
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