文章插图
但是原来的函数在(0,0)这一点的取值为1，因此这一点的极限值不等于函数值，所以在这一点函数是间断的 。
这个函数的图像画出来是下面这个样子 ， 我们可以根据图像来初步感受一下在(0,0)点的连续性：

文章插图
注意这个图像在(0,0)这一点的取值为1，就是上面红色的点，所以在这一点处它是不连续的 。

• 极限值不存在的例子

在学一元函数的时候，我们曾经学过求x向某一点趋近时的极限 ， 我们要考虑左侧和右侧 ， 也就是它有两种趋近方向 。但是对于二元函数情况则要复杂的多，因为在平面上，一个动点向一个定点靠近，它的趋近方向可就不止一种了，甚至都不必走直线：

文章插图
只有当P沿所有路径趋近P0时 ， 函数的极限值都是相等的 ， 那我们才说 ， 函数在这一点的极限存在 。但凡你能找到两条路径 ， 使得沿着这两条路径趋近的极限不同 ， 那么就可以说明函数在这一点的极限不存在 。
这就是证明多元函数在一点不存在极限的方法，按照这种方法，我们来看一下下面这个例子：
讨论下列函数在(0,0)点的连续性：

文章插图
我们选择两条不同的路径：
1、我们选择路径y=x ， 当(x,y)不在(0,0)时，有：

文章插图
因此此时极限值为1/2
2、我们选择路径y=2x，当(x,y)不在(0,0)时 ， 有：
因此此时极限值为2/5 。
我们选择两条不同的路径，得到了两个不同的极限值，因此函数在这一点的极限是不存在的，就更无所谓是否与函数值相等了，于是函数在(0,0)点就是间断的 。它的图形是下面这个样子：

文章插图
好了，上面就是多元函数的连续性与间断性的一般方法，我们来看下一类函数——向量函数 。
3.向量函数的连续性我们首先需要搞清楚向量函数的概念，就拿三维向量函数举例子 。
三维向量函数的自变量是一维的，我们一般用t来表示，而它的因变量是三维的，是一个向量的三个分量，所以一个三维向量函数通常写成以下这个样子：

文章插图
有的时候我们也写成下面这个样子：

文章插图
这个样子的式子跟上面那个式子从本质上讲是一样的，但是排列成这种形式，我们就一般把它看成是以t为参量的参数函数 。
三维向量函数或三维参数函数，它的图像就是空间中的一条曲线，随着t的变化而滑出一道轨迹来 。

文章插图
生活中的许多现象用普通的函数非常难研究 ， 于是这时就需要使用参数函数 。比如最典型的例子有螺旋线 ， 摆线等等 。我们研究平面上或空间中的物体运动问题 ， 有时候也要使用参数方程 。下图展示的就是各种各样的空间曲线：

文章插图
那么我们如何来研究一个向量函数，在某一点的连续性呢？同样我们需要使用极限的概念 。这里就是向量函数的极限 。

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