还是先从直观上来看，向量函数在t=a处的极限，相当于t无限的向a靠近的时候，它所代表的向量r(t)也无限的向某个向量来靠近，这个向量就称为向量函数在t=a处的极限 。我们先看一个简单的示意图：

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下面来研究如何把它写成严格的ε-δ定义的形式，遇到的一个比较困难的问题，就是如何形容两个向量挨得无限近 。我们用的方法是两个向量做差得到的差向量的模长无限短 ， 于是就得到如下定义：

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上面这个定义虽然是官方的定义，但是实用性却不太强，因为求向量模长是一个比较复杂的问题 。幸运的是，我们有一个定理 ， 求向量函数的极限就相当于求向量函数各个分量的极限 ， 而每一个分量都是个一元函数，它的极限是比较好求的 ， 定理如下：

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因此，向量函数的本质实际上就是多个一元函数，研究方法跟一元函数是完全平行的 。我们定义向量函数在某一点的连续性，自然也是同样的思想 。即 ， 如果满足

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那么就说向量函数在t=a这一点是连续的 ， 利用定理就可以得到，它充分必要条件就是：

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因为是充分必要条件，所以上边的三个式子里边儿但凡有一个不成立，那么向量函数的极限也就不可能等于向量函数值，于是在这一点就是断开的 。根据这一点 ， 我们就可以很轻易地找到在某一点是断开的向量函数 。比如下面这个例子：

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很明显我们知道

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但是

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因此这个函数在t=0这一点是间断的 。可以看出来 ， 向量函数的连续性就可以划归为多个一元函数的连续性，因此它没有增加实质上的新东西，我们对向量函数的介绍也就到此为止 。

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4.向量场的连续性向量场是比前两者都要更复杂的函数，它的自变量和因变量都是多维的 ， 意思就是说它的自变量和因变量都是向量 。比较常见的是自变量与因变量都是二维向量的平面向量?。约白员淞坑胍虮淞慷际侨蛄康目占湎蛄砍?。他们的本质就是在平面上或空间中的每一个点都指定一个向量 。物理中常见的力场 ， 电?。懦〉鹊龋际悄持痔厥獾南蛄砍?。包括数学中的梯度场 ， 也是一种特殊的向量场 。下图中所展示的是几个常见的空间向量?。?

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向量场本质上也是一个函数，而它的函数表达式从结构上来看就更加复杂了，我们来研究从m维向量空间到n维向量空间的向量场 。首先写成一个简单的样子如下：

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其中的x表示的是一个m维向量 ， y表示的是一个n维向量，所以把它们写开之后，实际上是这个样子：

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