空间函数属于多变量微积分的部分 。多变量微积分是对单变量微积分的推广，主要是利用微积分的方法来研究多元函数 。其研究脉络基本与一元函数相同，主要包括了多元函数的极限，连续性，导数，积分等等 。不过因为多元函数是在比平面更为复杂的空间中进行研究，所以每一部分内容相应的也要复杂很多 。

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多变量微积分中所研究的函数对象，根据其自变量与因变量的维度不同划分为三个类型 。

• 自变量是多维的，因变量是一维的，这种函数就称为多元函数 。其中比较特殊的情况是自变量是二维的，称之为二元函数，通常情况下记作z=f(x,y) 。那这样一来它表示的就是空间中的一个曲面 。

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• 自变量是一维的 ， 因变量是多维的，这种函数称之为参数函数，有时也叫向量函数 。如果因变量是二维的表示的，就是平面上的一条曲线；因变量是三维的表示的就是空间中的一条曲线 。

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• 自变量和因变量都是多维的，这种函数称之为向量场 。通常情况下 ， 我们研究自变量与因变量都是二维的情况，即平面上的向量?。灰约白员淞坑胍虮淞慷际侨那榭? ，即空间中的向量场 。

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不管是上面哪种情况，要想研究他们的连续性，就必须搞清楚连续性的定义是什么 。我们已经说过多变量微积分是沿袭的单变量微积分的思想，因此我们需要首先来看一下单变量微积分中是如何来研究连续性的 。
1.单变量微积分单变量微积分的研究对象就是普通的一元函数y=f(x)，它的连续性是利用极限来定义的 。函数f(x)在x=a点处连续，意思就是函数在这一点的极限值等于它的函数值f(a) 。即：

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它的图形解释就是函数在a点处有一个取值f(a)，当x无限向a靠近的时候，函数值也无限靠近f(a)，这样的话曲线和点就可以连上，于是就称为函数在这一点连续：

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因此判断函数在某一点是连续的还是间断的，只需要把这一点的极限值求出来，再与函数值相比较即可，如果二者相同则是连续的，如果不同则是间断的 。因此函数连续性的问题本质还是在求极限的问题 。在数学分析里面，我们给出了一个函数在一点极限的精确定义：

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这就是著名的关于极限的ε-δ定义 。它的图形解释如下

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ε-δ定义，是经过了柯西(Cauchy) ， 阿贝尔(Abel)，波尔查诺(Bolzano)等数学家的努力，最后由德国数学家魏尔斯特拉斯(Weierstrass)最终提出 。它的提出彻底地消除了第二次数学危机 ， 将整个微积分建立在严密化的基础之上，在数学史的发展中具有里程碑的意义 。
套用到连续性的定义上，我们就有：

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讨论完单变量微积分，按照相同的思想，我们就可以来研究多变量微积分了 。
【函数间断点例题 函数间断点的条件】我们按照上面列举的三种类型的函数顺序来进行研究 。

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