罗巴切夫斯基|非欧几何传奇：看俄罗斯人如何摧残自己的天才（转）( 七 ) 直线|罗巴切夫斯基|俄罗斯|公

在平面上，我们知道如何测量一段直线的距离，用公式表示就是：
ds2 = dx2 + dy2
其实就是欧几里得几何中的勾股定理。
那么在曲面上的弧长公式呢，高斯给出了公式：
ds2 = E du2 + 2F dudv+ G dv2
E、F、G都是系数，和曲面上点的性质有关， u就是横坐标， v就是纵坐标。
要是在平面上，这个公式就可以又变回了勾股定理，还是ds2 = dx2 + dy2
高斯所说的这一切都还在二维平面中，黎曼把高斯的二维平面扩展到了n维平面，黎曼称之为黎曼流形，还用黎曼度规表达出来了高斯弧长公式中的E、F、G

文章图片

不难看出这就是高斯弧长公式在n维流形中的表达式，其中gij（p）就是p点的黎曼度规，黎曼度规随p的变化而变化，这种随空间的点变化的物理量是什么呀？当然就是场。在法拉第1837年提出电场磁场的概念17年后，黎曼给出了场的数学描述。
用黎曼度规表示后，弧长公式就变成了这样。

文章图片

文章图片

式中的α就是是二维曲面的高斯曲率。
当α=-1 ，三角形的内角和小于180o ，这就是罗巴切夫斯基的双曲几何。
当α=0 ，三角形的内角和等于180° ，这就是通常的欧几里得平面几何。
当α=1 ，三角形内角和大于180° ，这就是球面几何。
如果说罗巴切夫斯基的非欧几何撕开了欧几里得几何的一个角的话，黎曼几何就完全颠覆了欧几里得。
现在可以看出来吧，欧几里得几何就是黎曼几何的一种特殊形式，只是在二维的小空间内适用，这句话是不是听起来有点熟悉呀？好像物理上也有这句话，物理上是这么说的，牛顿力学只是相对论力学在低速宏观情况下的近似，这么看来，黎曼几何是不是和相对论有关系呢？当然有关系，要是没有黎曼几何的话，也就没有相对论了。

“懒家伙”爱因斯坦

1905年，爱因斯坦写了五篇论文，四篇可以获得诺贝尔奖，其中的光电效应那一篇论文还真获得了诺贝尔奖，就是生产队的驴也不能这么使唤呀，都这样干活了，怎么他还是“懒家伙”呢？
说这句话的人是爱因斯坦的老师闵可夫斯基。这个名字听起来好像是罗巴切夫斯基的老乡，其实他是正宗的德国人，和俄国也算有点关系，他出生在俄罗斯，他是希尔伯特的好友，希尔伯特在1900年的那场著名的关于数学的演讲就是出于他的建议，他还有一个身份就是爱因斯坦的大学老师。

文章图片

现在人们都知道了爱因斯坦小时候做小椅子的传说是假的了，而且爱因斯坦从小到大都是老师们青睐的好学生，可闵可夫斯基怎么就看他不顺眼呢。
这是由于爱因斯坦经常逃他的数学课，爱因斯坦逃课当然不是因为老师讲的不好，这一方面是爱神觉得物理用不了那么多数学，浅尝即止就可以了，另一方面是爱神有一个好老婆和一根好基友，好老婆是米列娃，好基友是格林斯曼，这俩都是学霸，平时爱神看看老婆和基友的笔记也就能混个及格了，至于上不上课倒是没多大必要。
可是爱因斯坦真的错了。