欧拉公式#数学如诗，境界为上( 二 ) 冯骥才|百花文学奖|赵本夫|致

第七，“创新”是数学和诗歌的共同美学准则（即评价标准）。艺术家把“创新”叫作艺术风格。例如，李白的诗“豪迈奔放，飘逸若仙”，是浪漫主义风格；杜甫的诗则“深沉蕴蓄，抑扬曲折”，是现实主义风格。对数学研究而言，创新必须是在一定科学范围内有比较重要的意义。
第八，数学和诗歌的另一共同美学准则就是《人间词话》中所说的“境界为上”。数学的境界包括：1）大道至简，大美天成；2）简洁、和谐、对称、雅致；3）颠覆性的创新；4）交叉、融合、统一。
下面举几个高境界的数学例子。首先是两个美妙的数学公式。一是欧拉公式eiπ+1=0，它把数学里面最基本的几个要素全都整合在一块了，其中1是自然数的单位，0是正负数的分界点，e是自然对数的底，π是圆周率，i是虚数单位。二是欧拉公式V+F-E=2，公式表明：任何一个简单凸多面体，它的顶点数V加上面数F，减去棱数E必定等于2。这两个欧拉公式堪称“大道至简、大美天成”的数学公式。
数论中的三个著名猜想：“哥德巴赫猜想”（任何大于2的偶数可以表为两个素数之和）、“孪生数猜想”（存在无穷多对素数其差等于2）和“黎曼猜想”（黎曼ζ函数所有非平凡零点都位于复平面中实部为1/2的直线上），更是高境界数学的例子，尽管它们都还没有得到证明。又如庞加莱猜想、费尔马大定理、四色定理、伽罗瓦群论、黎曼几何、哥德尔不完备定理、伊藤清的随机分析、香农信息论等，这些都是属于“简洁、和谐、对称、雅致”高境界数学的例子。
20世纪50、60年代，格罗滕迪克对代数几何进行了彻底的革命，建立了“概形理论”，堪称一项颠覆性的创新。他因此于1966年获得菲尔兹奖。在概形理论基础上，数学家们取得了一系列杰出成就：1973年，德利涅证明了韦伊猜想（1978年获菲尔兹奖）； 1983年，法尔廷斯证明了莫德尔猜想（1986年获菲尔兹奖）；1995年，怀尔斯证明了费马大定理（1996年获菲尔兹特别奖）。
关于“交叉、融合、统一”这一数学境界，我举两个例子。其一是Atiyah-Singer指标定理：紧流形上的椭圆偏微分算子的解析指标（与解空间的维度相关）等于拓扑指标（决定于流形的拓扑性状）。其二是朗兰兹纲领，它是将数学中某些表面上毫不相干的领域（数论、代数几何与约化群表示理论）建立一种本质联系的构想。纲领是由朗兰兹在1967年给韦伊的一封信件中提出的。法籍越南数学家吴宝珠因证明朗兰兹纲领基本引理获得了2010年菲尔兹奖，朗兰兹本人获2018年度阿贝尔奖（编者注：为纪念挪威数学家尼尔斯·亨利克·阿贝尔设立的数学奖，每年颁发一次）。
我本人是研究概率论与随机分析的。我曾试图用诗歌来解析我的专业内涵，写过一首“悟道诗”：
随机非随意，概率破玄机。
无序隐有序，统计解迷离。
下面是我的另一首有关概率论的科学诗《随机与概率》，希望能引起大家对概率论的关注和兴趣。
随机与概率
熙熙人群朋友不期而遇，茫茫宇宙陨星意外撞击。
随机事件发生并非随意，概率破解其中奥秘玄机。
情境重复催生稀有事件，历史长河沉淀自然奇迹。
同班同学常有生日相同，彩民两次中奖并不神奇。
抵押贷款房产汽车按揭，精巧设计需要借助概率。
保费计算基于概率模型，期权定价有赖随机分析。
概率技巧有助破解密码，人工智能需用概率逻辑。
日常生活常遇概率问题，学点概率知识终身受益。
《光明日报》（ 2021年12月23日 16版）