伊斯兰|Girih密铺：伊斯兰几何天才的拼图游戏( 二 ) 伊斯兰

非等边性
"核心—5"拼块很容易继续发展。随着添加更多的拼块，演变后的拼块设置有利于更加结构化。下一步是根据边长组织拼块。这可以为今后的发展奠定基础。
所有"核心—5"拼块都是等边的（单位长度为1），但许多伊斯兰的几何图案需要非等边的拼块。本文的重点是"Φ类拼块" ，见图4 ，这是最常见的非等边类。这个类别的拼块至少有一条边是单位边的1.618倍，也就是黄金分割，即Φ 。另外6种拼块中有3种属于这一类别，见图7 。

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图4：等边和非等边拼块类别图表。非中点类别被省略，因为它们与本文无关。
在朱尔斯·布尔金（Jules Bourgoin）1879年出版的出版物[3]中描述的图案中，可以看到这些Φ边拼块的例子。图5中的图案都是用升级版拼块集中的拼块构成的，包括两个具有非等边的拼块——锥形拼块和金字塔块，参见图7 。
图5：Jules Bourgoin ，图板188b ，灰色和棕色的非等边拼块
此外， Bourgoin还描绘了"核心—5"Girih拼块集的拼块——蝴蝶结——其中所有边的长度都是Φ ，见图6 。
图6：Jules Bourgoin ，面板187b ， Φ蝴蝶结拼块为绿色
邦纳在2017年出版的书[2]中承认了这一点。他从"核心—5"拼块中指定了三个"全Φ边"的拼块；我称之为"Φ五边形"、"Φ菱形"和"Φ蝴蝶结"拼块。我称这些的拼块为黄金拼块。作为等边的中点拼块，它们符合图4中靠近"核心—5"类别的图表。
这两个Bourgoin图案是历史伊斯兰几何图案的例子，不能与"核心—5"拼块密铺。它们需要非等边类别的拼块。 Φ类是可以密铺的两个类别之一。
适配拼块
非等边拼块占了额外拼块的很大一部分。由于它们对重现许多伊斯兰几何图案至关重要，所以它们很有趣，足以被定义为自己的类别并进行详细讨论。我把这些称为适配拼块（见图7中的例子），因为它们可以从一个边缘规则的角度适应另一个角度。图7显示了最常见的同时具有单位和Φ边的适配拼块。它们属于Φ类。
图7：Φ类中最常见的适配拼块
汉金（E. H. Hankin）在他1925年的书[7]中描述了一种拼块图案相互作用的方式。对于长度相等的边，线与另一拼块无缝交叉，也就是说，规则是它们必须在同一点交叉，而且角度相同。这就是"接触多边形法" ，简称PIC 。
在伊斯兰几何艺术中，主要的边缘规则是两条线在边线的中点相交。对于5重对称图案，线之间的角度主要是36°或72° ，请参见图8 。

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图8：5重对称图案的36°和72°边缘规则
邦纳在2017年的书中谈到了不同的图案系列。 [2]这意味着，具有不同边缘规则角度的拼块属于不同的系列。他定义了4个图案系列，在伊斯兰几何艺术的现有图案中占主导地位。三个系列中有一个中点交叉，即锐角（36°）、中值（72°）、钝角（108°），还有一个有两个非中点交叉，即两点（72°）。这些角度是针对5重对称的。其他对称性（如6重对称、8重对称）在每个系列中都有自己的特征接触角。
由于适配拼块有一个以上的边缘规则角度，它们属于一个以上的图案系列。适配拼块允许一个图案有更多的动态设计。图9显示了一个由两个图案系列的拼块组成的图案；图案的主要部分（外部区域）有具有中值角的拼块（用黑色和蓝色的线条引用）。当这两个图案系列相遇时，围绕着中心的锐角星形拼块的适配拼块环（棕色拼块）就像一个"调解人" ，让图案适应中心星形。内圈的拼块有更大的尺寸， Φ/（3-Φ）=1.171 。